আয়তাকার ঘনবস্তু ও ঘনক

অনুশীলনের প্রশ্ন

1. ১

   একটি আয়তকার সাবানের (rectangular cuboid) দৈর্ঘ্য ৬ cm, প্রস্থ ৪ cm এবং উচ্চতা ৩ cm। সাবানটির আদি সমগ্র পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল ১০৮ cm² এবং আয়তন ৭২ cm³। সাবানটিকে দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা বরাবর ঠিক মাঝখান দিয়ে কেটে মোট ৮টি সমান ছোট ঘনবস্তুতে ভাগ করা হলো। সবগুলো ছোট টুকরোর সর্বমোট পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল কত হবে?

   1. ক

      ১০৮ cm²

   2. খ

      ২১৬ cm²

   3. গ

      ৪৩২ cm²

   4. ঘ

      ৮৬৪ cm²

   উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর:

   খ) ২১৬ cm²

   1. প্রতিটি ধারকে সমান ২ ভাগে কাটলে মোট টুকরো হয় $২^৩ = ৮$টি। প্রতিটি ছোট টুকরোর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে ৩ cm, ২ cm এবং ১.৫ cm।
   2. প্রতিটি ছোট টুকরোর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = $২(৩ \times ২ + ২ \times ১.৫ + ১.৫ \times ৩) = ২(৬ + ৩ + ৪.৫) = ২৭\text{ cm}^2$।

   $$S_{\text{piece}} = 2(3 \times 2 + 2 \times 1.5 + 1.5 \times 3) = 27\text{ cm}^2$$

   3. অতএব ৮টি টুকরোর মোট পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল = $৮ \times ২৭ = ২১৬\text{ cm}^2$। অভ্যন্তরীণ নতুন পৃষ্ঠতল উন্মুক্ত হওয়ায় মোট ক্ষেত্রফল আদি ক্ষেত্রফলের ঠিক দ্বিগুণ ($২ \times ১০৮ = ২১৬\text{ cm}^2$) হয়।

   $$S_{\text{total}} = 8 \times 27 = 216\text{ cm}^2$$
2. ২

   রাজশাহীর একটি ফলের গুদামে আম সংরক্ষণের জন্য ব্যবহৃত একটি আয়তকার বাক্সের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতার অনুপাত ২:৩:৬। বাক্সটির সমগ্র পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল ২৮৮ cm² হলে, এর কর্ণের দৈর্ঘ্য (length of the diagonal) কত cm?

   উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর:

   ১৪ cm

   1. ধরি, দৈর্ঘ্য $a = ২x\text{ cm}$, প্রস্থ $b = ৩x\text{ cm}$ এবং উচ্চতা $c = ৬x\text{ cm}$।
   2. সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল $S = ২(ab + bc + ca) = ২(২x \cdot ৩x + ৩x \cdot ৬x + ৬x \cdot ২x) = ২(৬x^2 + ১৮x^2 + ১২x^2) = ২(৩৬x^2) = ৭২x^2$।

   $$S = 2(6x^2 + 18x^2 + 12x^2) = 72x^2$$

   3. শর্তমতে, $৭২x^2 = ২৮৮ \implies x^2 = \frac{২৮৮}{৭২} = ৪ \implies x = ২$। ফলে মাত্রাগুলো হলো $a = ৪\text{ cm}$, $b = ৬\text{ cm}$, $c = ১২\text{ cm}$।

   $$72x^2 = 288 \implies x = 2$$

   4. কর্ণের দৈর্ঘ্য $d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = \sqrt{৪^2 + ৬^2 + ১২^2} = \sqrt{১৬ + ৩৬ + ১৪৪} = \sqrt{১৯৬} = ১৪\text{ cm}$।

   $$d = \sqrt{4^2 + 6^2 + 12^2} = \sqrt{196} = 14\text{ cm}$$
3. ৩

   একটি ঘনকের প্রতিটি ধারের দৈর্ঘ্য দ্বিগুণ করা হলে এর সমগ্র পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল এবং আয়তন যথাক্রমে কত গুণ হবে? কারণসহ ব্যাখ্যা করো।

   উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর:

   একটি ঘনকের ধারের দৈর্ঘ্য $a$ থেকে $২a$ করা হলে সমগ্র পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল $S = ৬a^2$ থেকে বেড়ে $৬(২a)^2 = ২৪a^2 = ৪S$ হয়, অর্থাৎ ক্ষেত্রফল ৪ গুণ হয়। অপরদিকে আয়তন $V = a^3$ থেকে বেড়ে $(২a)^3 = ৮a^3 = ৮V$ হয়, অর্থাৎ আয়তন ৮ গুণ হয়। এর কারণ পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল একটি দ্বিমাত্রিক পরিমাপ যা বাহুর দৈর্ঘ্যের বর্গের সমানুপাতিক ($S \propto a^2$), কিন্তু আয়তন একটি ত্রিমাত্রিক পরিমাপ যা বাহুর দৈর্ঘ্যের ঘনের সমানুপাতিক ($V \propto a^3$)।

   1. আদি ধারের দৈর্ঘ্য $a$ হলে সমগ্র পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল $S_১ = ৬a^2$। ধারের দৈর্ঘ্য দ্বিগুণ ($২a$) হলে নতুন ক্ষেত্রফল $S_২ = ৬(২a)^2 = ২৪a^2 = ৪S_১$, অর্থাৎ ক্ষেত্রফল ৪ গুণ হয়।

   $$S_2 = 6(2a)^2 = 4 \times (6a^2) = 4S_1$$

   2. আদি আয়তন $V_১ = a^3$। ধার দ্বিগুণ হলে নতুন আয়তন $V_২ = (২a)^3 = ৮a^3 = ৮V_১$, অর্থাৎ আয়তন ৮ গুণ হয়।

   $$V_2 = (2a)^3 = 8a^3 = 8V_1$$

   3. জ্যামিতিক স্কেলিং নীতি অনুযায়ী ক্ষেত্রফল রৈখিক মাত্রার বর্গের ($L^2$) এবং আয়তন রৈখিক মাত্রার ঘনের ($L^3$) অনুপাতে পরিবর্তিত হয়।