ঘন জ্যামিতির মৌলিক ধারণা

অনুশীলনের প্রশ্ন

1. ১

   একটি সমবৃত্তভূমিক কোণকের (right circular cone) ভূমির ব্যাসার্ধ ৬ cm এবং খাড়া উচ্চতা ৮ cm। কোণকটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল (curved surface area) কত?

   1. ক

      ৩০π cm²

   2. খ

      ৪৮π cm²

   3. গ

      ৬০π cm²

   4. ঘ

      ৯৬π cm²

   উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর:

   গ) ৬০π cm²

   1. কোণকের তির্যক উচ্চতা $l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{৬^2 + ৮^2} = \sqrt{৩৬ + ৬৪} = \sqrt{১০০} = ১০\text{ cm}$।

   $$l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10\text{ cm}$$

   2. বক্রতলের ক্ষেত্রফল = $\pi r l = \pi \times ৬ \times ১০ = ৬০\pi\text{ cm}^2$।

   $$A = \pi r l = 60\pi\text{ cm}^2$$
2. ২

   একটি ঘনকের প্রতিটি ধারের দৈর্ঘ্য দ্বিগুণ করা হলে এর সমগ্র পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল এবং আয়তন যথাক্রমে কত গুণ হবে? কারণসহ ব্যাখ্যা করো।

   উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর:

   একটি ঘনকের ধারের দৈর্ঘ্য $a$ থেকে $২a$ করা হলে সমগ্র পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল $S = ৬a^2$ থেকে বেড়ে $৬(২a)^2 = ২৪a^2 = ৪S$ হয়, অর্থাৎ ক্ষেত্রফল ৪ গুণ হয়। অপরদিকে আয়তন $V = a^3$ থেকে বেড়ে $(২a)^3 = ৮a^3 = ৮V$ হয়, অর্থাৎ আয়তন ৮ গুণ হয়। এর কারণ পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল একটি দ্বিমাত্রিক পরিমাপ যা বাহুর দৈর্ঘ্যের বর্গের সমানুপাতিক ($S \propto a^2$), কিন্তু আয়তন একটি ত্রিমাত্রিক পরিমাপ যা বাহুর দৈর্ঘ্যের ঘনের সমানুপাতিক ($V \propto a^3$)।

   1. আদি ধারের দৈর্ঘ্য $a$ হলে সমগ্র পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল $S_১ = ৬a^2$। ধারের দৈর্ঘ্য দ্বিগুণ ($২a$) হলে নতুন ক্ষেত্রফল $S_২ = ৬(২a)^2 = ২৪a^2 = ৪S_১$, অর্থাৎ ক্ষেত্রফল ৪ গুণ হয়।

   $$S_2 = 6(2a)^2 = 4 \times (6a^2) = 4S_1$$

   2. আদি আয়তন $V_১ = a^3$। ধার দ্বিগুণ হলে নতুন আয়তন $V_২ = (২a)^3 = ৮a^3 = ৮V_১$, অর্থাৎ আয়তন ৮ গুণ হয়।

   $$V_2 = (2a)^3 = 8a^3 = 8V_1$$

   3. জ্যামিতিক স্কেলিং নীতি অনুযায়ী ক্ষেত্রফল রৈখিক মাত্রার বর্গের ($L^2$) এবং আয়তন রৈখিক মাত্রার ঘনের ($L^3$) অনুপাতে পরিবর্তিত হয়।
3. ৩

   একটি চতুস্তলকের তলের সংখ্যা কত?

   1. ক

      $4$

   2. খ

      $6$

   3. গ

      $8$

   4. ঘ

      $12$

   উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর:

   ক) $4$

   1. চারটি তল দ্বারা সীমাবদ্ধ ঘনবস্তুকে চতুস্তলক বলে। তাই এর তলের সংখ্যা $4$।