একটি সমবৃত্তভূমিক কোণকের (right circular cone) ভূমির ব্যাসার্ধ ৬ cm এবং খাড়া উচ্চতা ৮ cm। কোণকটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল (curved surface area) কত?

সঠিক উত্তর: গ) ৬০π cm²। কোণকের তির্যক উচ্চতা l = √(r² + h²) = √(৬² + ৮²) = √(৩৬ + ৬৪) = √১০০ = ১০ cm। বক্রতলের ক্ষেত্রফল = π r l = π × ৬ × ১০ = ৬০π cm²।

একটি সুষম বর্গাকার পিরামিডের (regular square pyramid) ভূমির প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য ১০ cm এবং খাড়া উচ্চতা ১২ cm হলে, পিরামিডটির সমগ্র পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল (total surface area) কত?

সঠিক উত্তর: গ) ৩৬০ cm²। বর্গাকার ভূমির কেন্দ্র থেকে যেকোনো বাহুর দূরত্ব r = ১০/২ = ৫ cm। পিরামিডটির তির্যক উচ্চতা l = √(h² + r²) = √(১২² + ৫²) = √(১৪৪ + ২৫) = √১৬৯ = ১৩ cm। পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল = ১/২ × ভূমির পরিসীমা × l = ১/২ × (৪ × ১০) × ১৩ = ১/২ × ৪০ × ১৩ = ২৬০ cm²। সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = ভূমির ক্ষেত্রফল + পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল = ১০² + ২৬০ = ১০০ + ২৬০ = ৩৬০ cm²।

৩ cm ব্যাসার্ধের একটি নিরেট ধাতব গোলককে গলিয়ে একই ব্যাসার্ধের (৩ cm) একটি সমবৃত্তভূমিক সিলিন্ডারে (right circular cylinder) রূপান্তর করা হলো। কোনো উপাদান নষ্ট না হলে সিলিন্ডারটির উচ্চতা কত হবে?

সঠিক উত্তর: গ) ৪ cm। ৩ cm ব্যাসার্ধের গোলকের আয়তন V = ৪/৩π r³ = ৪/৩π (৩)³ = ৪/৩π × ২৭ = ৩৬π cm³। ৩ cm ব্যাসার্ধ ও h উচ্চতাবিশিষ্ট সিলিন্ডারের আয়তন V = π r² h = π (৩)² h = ৯π h cm³। উভয়ের আয়তন সমান হওয়ায়: ৯π h = ৩৬π ⇒ h = ৩৬π/৯π = ৪ cm।

উচ্চতর গণিত · অধ্যায় ১৩ · টপিক ৩

প্রিজম, পিরামিড, গোলক, ও সমবৃত্তভূমিক কোণকের আয়তন এবং পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল

চালিয়ে দেখো এই অধ্যায় অনুশীলন করো

পড়ার নোট

প্রিজম: দুই প্রান্তে দুটি সর্বসম সমান্তরাল বহুভুজ (ভূমি) এবং অন্য তলগুলো সামান্তরিক। পার্শ্বতলগুলো সব আয়তাকার হলে খাড়া প্রিজম, নইলে তীর্যক প্রিজম। ভূমির নামে প্রিজমের নাম হয়, যেমন ত্রিভুজাকার প্রিজম।

সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল $=2\times$ ভূমির ক্ষেত্রফল $+$ ভূমির পরিসীমা $\times$ উচ্চতা
আয়তন $=$ ভূমির ক্ষেত্রফল $\times$ উচ্চতা

পিরামিড: ভূমি একটি বহুভুজ, পার্শ্বতলগুলো ত্রিভুজ, সবাই এক শীর্ষে মিলেছে। সুষম পিরামিডে ভূমি সুষম বহুভুজ ও পার্শ্বতলগুলো সর্বসম ত্রিভুজ। চারটি সমবাহু ত্রিভুজে ঘেরা ঘনবস্তু সুষম চতুস্তলক।

সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল $=$ ভূমির ক্ষেত্রফল $+\dfrac12\times$ ভূমির পরিসীমা $\times$ তির্যক উচ্চতা $l$
আয়তন $=\dfrac13\times$ ভূমির ক্ষেত্রফল $\times$ উচ্চতা $h$
বর্গভূমির পিরামিডে ভূমির কেন্দ্র থেকে বাহুর লম্ব দূরত্ব $r$ হলে $l=\sqrt{h^2+r^2}$

সমবৃত্তভূমিক কোণক: সমকোণী ত্রিভুজকে সমকোণ সংলগ্ন একটি বাহু ধরে ঘোরালে এটি তৈরি হয়। ভূমির ব্যাসার্ধ $r$ , উচ্চতা $h$ , তির্যক উচ্চতা $l=\sqrt{h^2+r^2}$ হলে

বক্রতলের ক্ষেত্রফল $=\pi rl$
সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল $=\pi r(r+l)$
আয়তন $=\dfrac13\pi r^2h$

গোলক: অর্ধবৃত্তকে ব্যাস ধরে ঘোরালে এটি তৈরি হয়। ব্যাসার্ধ $r$ হলে

পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল $=4\pi r^2$
আয়তন $=\dfrac43\pi r^3$
কেন্দ্র থেকে $h$ দূরের সমতল কাটলে যে বৃত্ত হয় তার ব্যাসার্ধ $=\sqrt{r^2-h^2}$

উদাহরণ ১ (কোণক): $r=7$ সে.মি., $h=24$ সে.মি.।

$l=\sqrt{49+576}=\sqrt{625}=25$ সে.মি.
বক্রতল $=\pi\times7\times25=175\pi\approx550$ বর্গ সে.মি. ( $\pi\approx\frac{22}{7}$ )
আয়তন $=\frac13\pi\times49\times24=392\pi\approx1232$ ঘন সে.মি.

উদাহরণ ২ (পিরামিড): বর্গভূমির বাহু $6$ সে.মি., উচ্চতা $4$ সে.মি.।

$r=3$ , $l=\sqrt{16+9}=5$
ক্ষেত্রফল $=36+\frac12\times24\times5=96$ বর্গ সে.মি.
আয়তন $=\frac13\times36\times4=48$ ঘন সে.মি.

মনে রাখো: প্রিজমের আয়তন ভূমি $\times$ উচ্চতা, পিরামিড ও কোণকের আয়তন তার এক-তৃতীয়াংশ; গোলকের ক্ষেত্রফল $4\pi r^2$ ও আয়তন $\frac43\pi r^3$ ।

২০২৬ সালের NCTB পাঠ্যবই অনুসরণ করে লেখা।

চালিয়ে দেখো

কুলফির কোণ বনাম কাপ: আয়তন ও ক্ষেত্রফলচালিয়ে দেখো
একটি কুলফির দোকানে একই মূল্যের দুটি পাত্র রয়েছে: একটি সমবৃত্তভূমিক কোণক আকৃতির মোড়ক (আইসক্রিম কোণ) এবং অন্যটি সমবৃত্তভূমিক বেলনাকার কাপ। দুটিরই ভূমির ব্যাসার্ধ ৩ cm এবং উচ্চতা ৯ cm। কাপটিতে কতটুকু কুলফি ধরে তা জানা আছে। একই ব্যাসার্ধ ও উচ্চতার কোণকটিতে কাপের তুলনায় কতটুকু কুলফি ধরবে?

অনুশীলনের প্রশ্ন

একটি সমবৃত্তভূমিক কোণকের (right circular cone) ভূমির ব্যাসার্ধ ৬ cm এবং খাড়া উচ্চতা ৮ cm। কোণকটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল (curved surface area) কত?
1. ক
  ৩০π cm²
2. খ
  ৪৮π cm²
3. গ
  ৬০π cm²
4. ঘ
  ৯৬π cm²
উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর:
গ) ৬০π cm²
1. কোণকের তির্যক উচ্চতা $l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{৬^2 + ৮^2} = \sqrt{৩৬ + ৬৪} = \sqrt{১০০} = ১০\text{ cm}$ ।
$l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10\text{ cm}$
1. বক্রতলের ক্ষেত্রফল = $\pi r l = \pi \times ৬ \times ১০ = ৬০\pi\text{ cm}^2$ ।
$A = \pi r l = 60\pi\text{ cm}^2$
একটি সুষম বর্গাকার পিরামিডের (regular square pyramid) ভূমির প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য ১০ cm এবং খাড়া উচ্চতা ১২ cm হলে, পিরামিডটির সমগ্র পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল (total surface area) কত?
1. ক
  ২৬০ cm²
2. খ
  ৩৪০ cm²
3. গ
  ৩৬০ cm²
4. ঘ
  ৪০০ cm²
উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর:
গ) ৩৬০ cm²
1. বর্গাকার ভূমির কেন্দ্র থেকে যেকোনো বাহুর দূরত্ব $r = \frac{১০}{২} = ৫\text{ cm}$ । পিরামিডটির তির্যক উচ্চতা $l = \sqrt{h^2 + r^2} = \sqrt{১২^2 + ৫^2} = \sqrt{১৪৪ + ২৫} = \sqrt{১৬৯} = ১৩\text{ cm}$ ।
$l = \sqrt{12^2 + 5^2} = 13\text{ cm}$
1. পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল = $\frac{১}{২} \times \text{ভূমির পরিসীমা} \times l = \frac{১}{২} \times (৪ \times ১০) \times ১৩ = \frac{১}{২} \times ৪০ \times ১৩ = ২৬০\text{ cm}^2$ ।
$A_{\text{lat}} = \frac{1}{2} \times 40 \times 13 = 260\text{ cm}^2$
1. সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = ভূমির ক্ষেত্রফল + পার্শ্বতলের ক্ষেত্রফল = $১০^2 + ২৬০ = ১০০ + ২৬০ = ৩৬০\text{ cm}^2$ ।
$S = 100 + 260 = 360\text{ cm}^2$
৩ cm ব্যাসার্ধের একটি নিরেট ধাতব গোলককে গলিয়ে একই ব্যাসার্ধের (৩ cm) একটি সমবৃত্তভূমিক সিলিন্ডারে (right circular cylinder) রূপান্তর করা হলো। কোনো উপাদান নষ্ট না হলে সিলিন্ডারটির উচ্চতা কত হবে?
1. ক
  ১ cm
2. খ
  ৩ cm
3. গ
  ৪ cm
4. ঘ
  ১২ cm
উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর:
গ) ৪ cm
1. ৩ cm ব্যাসার্ধের গোলকের আয়তন $V = \frac{৪}{৩}\pi r^3 = \frac{৪}{৩}\pi (৩)^3 = \frac{৪}{৩}\pi \times ২৭ = ৩৬\pi\text{ cm}^3$ ।
$V_{\text{sphere}} = \frac{4}{3}\pi (3)^3 = 36\pi\text{ cm}^3$
1. ৩ cm ব্যাসার্ধ ও $h$ উচ্চতাবিশিষ্ট সিলিন্ডারের আয়তন $V = \pi r^2 h = \pi (৩)^2 h = ৯\pi h\text{ cm}^3$ ।
$V_{\text{cyl}} = 9\pi h\text{ cm}^3$
1. উভয়ের আয়তন সমান হওয়ায়: $৯\pi h = ৩৬\pi \implies h = \frac{৩৬\pi}{৯\pi} = ৪\text{ cm}$ ।
$9\pi h = 36\pi \implies h = 4\text{ cm}$

এই টপিক নিয়ে প্রশ্ন আছে?

মেন্টরকে বাংলায় বা ইংরেজিতে জিজ্ঞেস করো, বা খাতার ছবি দাও। সিমুলেশন চালিয়ে বুঝিয়ে দেবে।

মেন্টরকে জিজ্ঞেস করো