offSchoolবেটা

উচ্চতর গণিত · অধ্যায় ১৩ · টপিক ৪

ঘনবস্তু সংক্রান্ত বাস্তব সমস্যা

চালিয়ে দেখো এই অধ্যায় অনুশীলন করো

পড়ার নোট

বাস্তব সমস্যায় প্রথমে বস্তুটি কোন ঘনবস্তু তা চিনে নিতে হয়, তারপর সূত্র বসাতে হয়। কয়েকটি সাধারণ ধরন:

  • গলিয়ে নতুন আকৃতি: লোহা বা সীসার একটি বস্তু গলিয়ে অন্য আকৃতি বানালে আয়তন একই থাকে। তাই (আগের আয়তন) == (নতুন আয়তন)। কয়টি ছোট বস্তু হবে জানতে বড়টির আয়তনকে ছোটটির আয়তন দিয়ে ভাগ করো।
  • ফাঁপা বস্তু: ফাঁপা গোলকের বাইরের ব্যাসার্ধ RR ও বেধ tt হলে ভিতরের ব্যাসার্ধ R−tR-t। ব্যবহৃত লোহার আয়তন =43π(R3−(R−t)3)=\frac43\pi\left(R^3-(R-t)^3\right)। কাঠের বাক্সেও ভিতরের মাপ পেতে দুই পাশের বেধ বাদ দিতে হয়।
  • ধারণক্ষমতা ও রং করা: ট্যাংকের ধারণক্ষমতা আয়তন থেকে, রং বা প্লাস্টারের খরচ তলের ক্ষেত্রফল থেকে আসে।
  • তাঁবু: কোণক আকৃতির তাঁবুর কাপড় লাগে বক্রতলের জন্য, অর্থাৎ πrl\pi rl।
  • ইটের দেয়াল: দেয়ালের আয়তনকে একটি ইটের আয়তন দিয়ে ভাগ করলে ইটের সংখ্যা মেলে।

মাপের একক সব এক করে নাও, যেমন মিটার ও সে.মি. মেশালে ভুল হয়।

উদাহরণ: 66 সে.মি. ব্যাসার্ধের একটি নিরেট লোহার গোলক গলিয়ে 22 সে.মি. ব্যাসার্ধের ছোট গোলক বানানো হলো। কয়টি হবে?

  • বড় গোলকের আয়তন =43π×63=43π×216=288π=\frac43\pi\times6^3=\frac43\pi\times216=288\pi
  • একটি ছোট গোলকের আয়তন =43π×23=323π=\frac43\pi\times2^3=\frac{32}{3}\pi
  • সংখ্যা =288π÷323π=288×332=27=288\pi\div\frac{32}{3}\pi=288\times\frac{3}{32}=27

গোলকটি ঘনক আকৃতির বাক্সে ঠিকভাবে এঁটে গেলে ঘনকের বাহু == গোলকের ব্যাস। বাক্সের ফাঁকা অংশ == ঘনকের আয়তন −- গোলকের আয়তন।

আরেকটি উদাহরণ: 1010 মি. লম্বা, 0.250.25 মি. পুরু ও 22 মি. উঁচু একটি দেয়াল গাঁথতে 2525 সে.মি. ×\times 12.512.5 সে.মি. ×\times 7.57.5 সে.মি. মাপের কয়টি ইট লাগবে (গাঁথুনির মসলা বাদে)? প্রথমে সব মাপ মিটারে আনি। দেয়ালের আয়তন =10×0.25×2=5=10\times0.25\times2=5 ঘন মি.। একটি ইটের আয়তন =0.25×0.125×0.075=0.00234375=0.25\times0.125\times0.075=0.00234375 ঘন মি.। ইটের সংখ্যা =5÷0.00234375≈2133.3=5\div0.00234375\approx2133.3, অর্থাৎ অন্তত 21342134টি ইট লাগবে, কারণ ইট ভগ্নাংশে কেনা যায় না।

সাধারণ ভুল হলো ব্যাসকে ব্যাসার্ধ ধরে সূত্রে বসানো; ব্যাস দেওয়া থাকলে আগে অর্ধেক করে নিতে হয়।

মনে রাখো: গলালে আয়তন অপরিবর্তিত থাকে, তাই দুই পক্ষের আয়তন সমান করে সমীকরণ বানাও।

২০২৬ সালের NCTB পাঠ্যবই অনুসরণ করে লেখা।

চালিয়ে দেখো

  • সাবান কেটে টুকরো করা: ক্ষেত্রফল বনাম আয়তনচালিয়ে দেখো

    একটি আয়তকার সাবানের দৈর্ঘ্য ৬ cm, প্রস্থ ৪ cm এবং উচ্চতা ৩ cm। এর আদি আয়তন ৭২ cm³ এবং সমগ্র পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল ১০৮ cm²। সাবানটিকে দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা বরাবর সমান ২ ভাগে কেটে মোট ৮টি সমান ছোট টুকরোয় ভাগ করা হলো (প্রতি ধারের খণ্ড সংখ্যা ২)। টুকরো করার পর সবগুলো টুকরোর মোট পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল কত হবে? মোট আয়তন কি বৃদ্ধি বা হ্রাস পাবে?

অনুশীলনের প্রশ্ন

  1. একটি আয়তকার সাবানের (rectangular cuboid) দৈর্ঘ্য ৬ cm, প্রস্থ ৪ cm এবং উচ্চতা ৩ cm। সাবানটির আদি সমগ্র পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল ১০৮ cm² এবং আয়তন ৭২ cm³। সাবানটিকে দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা বরাবর ঠিক মাঝখান দিয়ে কেটে মোট ৮টি সমান ছোট ঘনবস্তুতে ভাগ করা হলো। সবগুলো ছোট টুকরোর সর্বমোট পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল কত হবে?

    1. ক

      ১০৮ cm²

    2. খ

      ২১৬ cm²

    3. গ

      ৪৩২ cm²

    4. ঘ

      ৮৬৪ cm²

    উত্তর ও ব্যাখ্যা
    সঠিক উত্তর:

    খ) ২১৬ cm²

    1. প্রতিটি ধারকে সমান ২ ভাগে কাটলে মোট টুকরো হয় ২৩=৮২^৩ = ৮টি। প্রতিটি ছোট টুকরোর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে ৩ cm, ২ cm এবং ১.৫ cm।
    2. প্রতিটি ছোট টুকরোর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = ২(৩×২+২×১.৫+১.৫×৩)=২(৬+৩+৪.৫)=২৭ cm2২(৩ \times ২ + ২ \times ১.৫ + ১.৫ \times ৩) = ২(৬ + ৩ + ৪.৫) = ২৭\text{ cm}^2।
    Spiece=2(3×2+2×1.5+1.5×3)=27 cm2S_{\text{piece}} = 2(3 \times 2 + 2 \times 1.5 + 1.5 \times 3) = 27\text{ cm}^2
    1. অতএব ৮টি টুকরোর মোট পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল = ৮×২৭=২১৬ cm2৮ \times ২৭ = ২১৬\text{ cm}^2। অভ্যন্তরীণ নতুন পৃষ্ঠতল উন্মুক্ত হওয়ায় মোট ক্ষেত্রফল আদি ক্ষেত্রফলের ঠিক দ্বিগুণ (২×১০৮=২১৬ cm2২ \times ১০৮ = ২১৬\text{ cm}^2) হয়।
    Stotal=8×27=216 cm2S_{\text{total}} = 8 \times 27 = 216\text{ cm}^2

  2. ৩ cm ব্যাসার্ধের একটি নিরেট ধাতব গোলককে গলিয়ে একই ব্যাসার্ধের (৩ cm) একটি সমবৃত্তভূমিক সিলিন্ডারে (right circular cylinder) রূপান্তর করা হলো। কোনো উপাদান নষ্ট না হলে সিলিন্ডারটির উচ্চতা কত হবে?

    1. ক

      ১ cm

    2. খ

      ৩ cm

    3. গ

      ৪ cm

    4. ঘ

      ১২ cm

    উত্তর ও ব্যাখ্যা
    সঠিক উত্তর:

    গ) ৪ cm

    1. ৩ cm ব্যাসার্ধের গোলকের আয়তন V=৪৩πr3=৪৩π(৩)3=৪৩π×২৭=৩৬π cm3V = \frac{৪}{৩}\pi r^3 = \frac{৪}{৩}\pi (৩)^3 = \frac{৪}{৩}\pi \times ২৭ = ৩৬\pi\text{ cm}^3।
    Vsphere=43π(3)3=36π cm3V_{\text{sphere}} = \frac{4}{3}\pi (3)^3 = 36\pi\text{ cm}^3
    1. ৩ cm ব্যাসার্ধ ও hh উচ্চতাবিশিষ্ট সিলিন্ডারের আয়তন V=πr2h=π(৩)2h=৯πh cm3V = \pi r^2 h = \pi (৩)^2 h = ৯\pi h\text{ cm}^3।
    Vcyl=9πh cm3V_{\text{cyl}} = 9\pi h\text{ cm}^3
    1. উভয়ের আয়তন সমান হওয়ায়: ৯πh=৩৬π  ⟹  h=৩৬π৯π=৪ cm৯\pi h = ৩৬\pi \implies h = \frac{৩৬\pi}{৯\pi} = ৪\text{ cm}।
    9πh=36π  ⟹  h=4 cm9\pi h = 36\pi \implies h = 4\text{ cm}

  3. রাজশাহীর একটি ফলের গুদামে আম সংরক্ষণের জন্য ব্যবহৃত একটি আয়তকার বাক্সের দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতার অনুপাত ২:৩:৬। বাক্সটির সমগ্র পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল ২৮৮ cm² হলে, এর কর্ণের দৈর্ঘ্য (length of the diagonal) কত cm?

    উত্তর ও ব্যাখ্যা
    সঠিক উত্তর:

    ১৪ cm

    1. ধরি, দৈর্ঘ্য a=২x cma = ২x\text{ cm}, প্রস্থ b=৩x cmb = ৩x\text{ cm} এবং উচ্চতা c=৬x cmc = ৬x\text{ cm}।
    2. সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল S=২(ab+bc+ca)=২(২x⋅৩x+৩x⋅৬x+৬x⋅২x)=২(৬x2+১৮x2+১২x2)=২(৩৬x2)=৭২x2S = ২(ab + bc + ca) = ২(২x \cdot ৩x + ৩x \cdot ৬x + ৬x \cdot ২x) = ২(৬x^2 + ১৮x^2 + ১২x^2) = ২(৩৬x^2) = ৭২x^2।
    S=2(6x2+18x2+12x2)=72x2S = 2(6x^2 + 18x^2 + 12x^2) = 72x^2
    1. শর্তমতে, ৭২x2=২৮৮  ⟹  x2=২৮৮৭২=৪  ⟹  x=২৭২x^2 = ২৮৮ \implies x^2 = \frac{২৮৮}{৭২} = ৪ \implies x = ২। ফলে মাত্রাগুলো হলো a=৪ cma = ৪\text{ cm}, b=৬ cmb = ৬\text{ cm}, c=১২ cmc = ১২\text{ cm}।
    72x2=288  ⟹  x=272x^2 = 288 \implies x = 2
    1. কর্ণের দৈর্ঘ্য d=a2+b2+c2=৪2+৬2+১২2=১৬+৩৬+১৪৪=১৯৬=১৪ cmd = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = \sqrt{৪^2 + ৬^2 + ১২^2} = \sqrt{১৬ + ৩৬ + ১৪৪} = \sqrt{১৯৬} = ১৪\text{ cm}।
    d=42+62+122=196=14 cmd = \sqrt{4^2 + 6^2 + 12^2} = \sqrt{196} = 14\text{ cm}

এই টপিক নিয়ে প্রশ্ন আছে?

মেন্টরকে বাংলায় বা ইংরেজিতে জিজ্ঞেস করো, বা খাতার ছবি দাও। সিমুলেশন চালিয়ে বুঝিয়ে দেবে।

মেন্টরকে জিজ্ঞেস করো