যৌগিক ঘনবস্তুর আয়তন এবং পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল পরিমাপ

দুই বা তার বেশি ঘনবস্তু জোড়া দিয়ে তৈরি ঘনবস্তুকে যৌগিক ঘনবস্তু বলে। যেমন

• আয়তাকার ঘরের উপর ত্রিভুজাকার প্রিজম আকৃতির ছাদ
• ঘনকের উপর বসানো পিরামিড
• কোণকের ভূমির সঙ্গে সমান ব্যাসার্ধের অর্ধগোলক জোড়া দিলে আইসক্রিম কোনের মতো আকার
• ক্যাপসুল: একটি সিলিন্ডারের দুই মাথায় দুটি অর্ধগোলক

পদ্ধতি

• আয়তন: অংশগুলোর আয়তন আলাদা করে বের করে যোগ করো।
• পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল: শুধু বাইরে দেখা যায় এমন তলগুলো যোগ করো। যে তলে দুই অংশ জোড়া লেগেছে তা ভিতরে চলে যায়, তাই বাদ দিতে হবে।

কাজের সূত্র: অর্ধগোলকের বক্রতল $2\pi r^2$, আয়তন $\frac23\pi r^3$; সিলিন্ডারের বক্রতল $2\pi rl$, আয়তন $\pi r^2l$।

উদাহরণ ১ (ক্যাপসুল): মোট দৈর্ঘ্য $15$ সে.মি., ব্যাসার্ধ $3$ সে.মি.।

• সিলিন্ডার অংশের দৈর্ঘ্য $=15-(3+3)=9$ সে.মি.
• ক্ষেত্রফল $=4\pi r^2+2\pi rl=4\pi\times9+2\pi\times3\times9=36\pi+54\pi=90\pi\approx282.74$ বর্গ সে.মি.
• আয়তন $=\frac43\pi r^3+\pi r^2l=36\pi+81\pi=117\pi\approx367.57$ ঘন সে.মি.

উদাহরণ ২ (কোণক ও অর্ধগোলক): দুটিরই ব্যাসার্ধ $3$ সে.মি., কোণকের উচ্চতা $4$ সে.মি., তাই $l=5$ সে.মি.।

• ক্ষেত্রফল $=\pi rl+2\pi r^2=15\pi+18\pi=33\pi$ বর্গ সে.মি.
• আয়তন $=\frac13\pi\times9\times4+\frac23\pi\times27=12\pi+18\pi=30\pi$ ঘন সে.মি.

লক্ষ করো, জোড়ার তলের (কোণকের ভূমি ও অর্ধগোলকের সমতল মুখ) ক্ষেত্রফল ধরা হয়নি।

সব মাপ একই এককে থাকলে আয়তন ঘন একক এবং ক্ষেত্রফল বর্গ এককে আসে; উপরের উদাহরণে দৈর্ঘ্য সে.মি. এ, তাই ক্ষেত্রফল বর্গ সে.মি. এ এবং আয়তন ঘন সে.মি. এ। SI একক অনুযায়ী এগুলো যথাক্রমে m$^2$ ও m$^3$ এ রূপান্তর করা যায়।

সাধারণ ভুল হলো ক্ষেত্রফল নির্ণয়ে অংশগুলোর সমগ্রতল সরাসরি যোগ করে ফেলা। যেমন ক্যাপসুলে সিলিন্ডারের দুই প্রান্তের বৃত্তাকার তল এবং অর্ধগোলকের সমতল মুখ বাইরে দেখা যায় না, তাই এগুলো যোগ করলে উত্তর বেশি আসে। আয়তনের ক্ষেত্রে কিছু বাদ দিতে হয় না, কারণ অংশগুলো একে অপরের জায়গা দখল করে না।

মনে রাখো: যৌগিক ঘনবস্তুর আয়তন অংশগুলোর আয়তনের যোগফল; ক্ষেত্রফলে জোড়ার তল বাদ দিয়ে শুধু বাইরের তল যোগ করতে হয়।