কুলফির কোণ বনাম কাপ: আয়তন ও ক্ষেত্রফল

একই ভূমির ব্যাসার্ধ (r) ও উচ্চতার (h) একটি বেলন ও কোণকের মধ্যে নির্দিষ্ট গাণিতিক সম্পর্ক রয়েছে। বেলনের আয়তন হলো V = πr²h। কোণকটি শীর্ষবিন্দুর দিকে সুষমভাবে সরু হয়ে যাওয়ায় এর আয়তন বেলনের ঠিক এক-তৃতীয়াংশ হয়: V = ⅓πr²h। সমমাপের তিনটি কোণক ভর্তি পানি ঢাললে তবেই সমউচ্চতার একটি বেলন পূর্ণ হয়। গোলকের ক্ষেত্রে আয়তন V = ⁴⁄₃πr³। বক্রতলের ক্ষেত্রফল: বেলনের ক্ষেত্রে 2πrh, কোণকের ক্ষেত্রে πrl (যেখানে তির্যক উচ্চতা l = √(r² + h²)) এবং গোলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল 4πr²।

ভুল ধারণার কারণ: অনেকেই মনে করেন ব্যাসার্ধ ও উচ্চতা এক থাকলে যেকোনো ঘনবস্তুর আয়তন একই হবে। কিন্তু কোণকের দেয়াল খাড়া না হয়ে ভেতরের দিকে ঝুঁকে একটি বিন্দুতে মিলিত হয়, যার ফলে মূল বেলনের দুই-তৃতীয়াংশ স্থানই বাদ পড়ে যায়। আবার এটি ত্রিমাত্রিক হওয়ায় সরু হওয়ার কারণে আয়তন অর্ধেক (১/২) না হয়ে এক-তৃতীয়াংশ (১/৩) হয়।