offSchoolবেটা

উচ্চতর গণিত · অধ্যায় ১২

সমতলীয় ভেক্টর

SSC Higher Math Chapter 12

  • ৫টি টপিক
  • ৩টি সিমুলেশন
পাঠ শুরু করো এই অধ্যায় অনুশীলন করো

সিমুলেশন

টপিক

  1. স্কেলার রাশি ও ভেক্টর রাশি

    পড়ে নাও

    দৈনন্দিন জীবনে অনেক রাশি শুধু একটি সংখ্যা ও একক দিয়েই পুরোপুরি বোঝানো যায়, যেমন 5 সেমি, 3 মিনিট, 12 টাকা, 5 লিটার, 6° C।

    পুরো টপিক পড়ো →

  2. সমান ভেক্টর, বিপরীত ভেক্টর ও অবস্থান ভেক্টর

    পড়ে নাও

    u ও v ভেক্টর সমান (u = v) হয় যদি তিনটি শর্ত একসাথে মেলে: দৈর্ঘ্য সমান: |u| = |v|। ধারক রেখা অভিন্ন বা সমান্তরাল। দিক একই মুখী। সমতার তিনটি নিয়ম মানা হয়: u = u; u = v হলে v = u; আর u = v ও v = w হলে u = w।

    পুরো টপিক পড়ো →

  3. ভেক্টর যোগ ও যোগবিধি

    পড়ে নাও

    u ভেক্টরের অন্তবিন্দু থেকে v আঁকলে, u-এর আদিবিন্দু থেকে v-এর অন্তবিন্দু পর্যন্ত যে ভেক্টর পাওয়া যায় সেটিই u + v।

    পুরো টপিক পড়ো →

  4. ভেক্টরের স্কেলার গুণিতক ও একক ভেক্টর

    পড়ে নাও

    u যেকোনো ভেক্টর এবং m যেকোনো বাস্তব সংখ্যা (স্কেলার) হলে mu কে u এর স্কেলার গুণিতক বলে। এর অর্থ: m=0 হলে mu=0, অর্থাৎ শূন্য ভেক্টর। m≠0 হলে mu এর দৈর্ঘ্য |m| |u| এবং ধারক রেখা u এর ধারক রেখার মতোই।

    পুরো টপিক পড়ো →

  5. বিভিন্ন জ্যামিতিক সমস্যা

    পড়ে নাও

    ভেক্টরের সাহায্যে জ্যামিতির অনেক প্রমাণ ছোট হয়ে যায়। কৌশল সাধারণত একই: বাহুগুলোকে ভেক্টর ধরো, যোগ-বিয়োগের ত্রিভুজবিধি ও স্কেলার গুণিতক ব্যবহার করে সম্পর্ক বের করো।

    পুরো টপিক পড়ো →

শিখনফল

  • স্কেলার রাশি ও ভেক্টর রাশি বর্ণনা করতে পারবে।
  • স্কেলার রাশি ও ভেক্টর রাশি প্রতীকের সাহায্যে ব্যাখ্যা করতে পারবে।
  • সমান ভেক্টর, বিপরীত ভেক্টর ও অবস্থান ভেক্টর ব্যাখ্যা করতে পারবে।
  • ভেক্টরের যোগ ও যোগবিধি ব্যাখ্যা করতে পারবে।
  • ভেক্টরের বিয়োগ ব্যাখ্যা করতে পারবে।
  • ভেক্টরের স্কেলার গুণিতক ও একক ভেক্টর ব্যাখ্যা করতে পারবে।
  • ভেক্টরের স্কেলার গুণিতক ও বন্টনবিধি ব্যাখ্যা করতে পারবে।
  • ভেক্টরের সাহায্যে বিভিন্ন জ্যামিতিক সমস্যার সমাধান করতে পারবে।

এই অধ্যায়ের পার্থক্য ও গাইড

এই অধ্যায়ের সূত্র

  • ভেক্টর যোজন ও লব্ধি বেগ
    R⃗=a⃗+b⃗,∣R⃗∣=(ax+bx)2+(ay+by)2,tan⁡θ=ay+byax+bx\vec{R} = \vec{a} + \vec{b}, \quad |\vec{R}| = \sqrt{(a_x + b_x)^2 + (a_y + b_y)^2}, \quad \tan\theta = \frac{a_y + b_y}{a_x + b_x}
    সিমুলেশনে দেখো →
  • ভেক্টরের স্কেলার গুণিতক ও একক ভেক্টর
    ∣ka∣=∣k∣∣a∣,a^=a∣a∣|ka| = |k||a|, \quad \hat{a} = \frac{a}{|a|}
    সিমুলেশনে দেখো →
  • সমান ভেক্টর, বিপরীত ভেক্টর ও অবস্থান ভেক্টর
    a⃗+(−a⃗)=0⃗,∣a⃗∣=∣−a⃗∣\vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{0}, \quad |\vec{a}| = |-\vec{a}|
    সিমুলেশনে দেখো →

এই বিষয়ের সব সূত্র →

সৃজনশীল প্রশ্ন ও উত্তর

বগুড়ার শেরপুরে একটি গ্রামীণ কৃষি প্রদর্শনী খামারের জমি △ABC\triangle ABC আকৃতির। ABAB ও ACAC বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে DD ও EE। আবার, BCBC বাহুর মধ্যবিন্দু FF এবং ত্রিভুজটির মধ্যমাগুলো GG বিন্দুতে মিলিত হয়।

  1. ক

    ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ বিধি অনুসারে দেখাও যে, AB⃗+BC⃗+CA⃗=0⃗\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA} = \vec{0}।

    উত্তর দেখাও

    △ABC\triangle ABC-এ ত্রিভুজ বিধি অনুসারে একই ক্রমে নির্দেশিত দুটি বাহুর ভেক্টর যোগফল তৃতীয় বাহুর বিপরীত ক্রমে নির্দেশিত ভেক্টরের সমান, অর্থাৎ AB⃗+BC⃗=AC⃗\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}। বিপরীত ভেক্টরের সংজ্ঞানুসারে AC⃗=−CA⃗\vec{AC} = -\vec{CA}। মানটি প্রতিস্থাপন করে পাই: AB⃗+BC⃗=−CA⃗  ⟹  AB⃗+BC⃗+CA⃗=0⃗\vec{AB} + \vec{BC} = -\vec{CA} \implies \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA} = \vec{0}।

  2. খ

    ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ করো যে, DE∥BCDE \parallel BC এবং DE=১২BCDE = \frac{১}{২}BC।

    উত্তর দেখাও

    ধরি, প্রসঙ্গ কাঠামোর মূলবিন্দুর সাপেক্ষে A,B,CA, B, C শীর্ষবিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে a⃗,b⃗,c⃗\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}। যেহেতু DD ও EE যথাক্রমে ABAB ও ACAC-এর মধ্যবিন্দু, তাই তাদের অবস্থান ভেক্টর d⃗=১২(a⃗+b⃗)\vec{d} = \frac{১}{২}(\vec{a} + \vec{b}) এবং e⃗=১২(a⃗+c⃗)\vec{e} = \frac{১}{২}(\vec{a} + \vec{c})। অতএব DE⃗=e⃗−d⃗=১২(a⃗+c⃗)−১২(a⃗+b⃗)=১২(c⃗−b⃗)=১২BC⃗\vec{DE} = \vec{e} - \vec{d} = \frac{১}{২}(\vec{a} + \vec{c}) - \frac{১}{২}(\vec{a} + \vec{b}) = \frac{১}{২}(\vec{c} - \vec{b}) = \frac{১}{২}\vec{BC}। যেহেতু DE⃗=১২BC⃗\vec{DE} = \frac{১}{২}\vec{BC}, তাই DE⃗\vec{DE} ও BC⃗\vec{BC} ভেক্টরদ্বয়ের ধারক রেখা পরস্পর সমান্তরাল; সুতরাং DE∥BCDE \parallel BC। এবং পরমমান নিলে ∣DE⃗∣=১২∣BC⃗∣  ⟹  DE=১২BC|\vec{DE}| = \frac{১}{২}|\vec{BC}| \implies DE = \frac{১}{২}BC।

  3. গ

    ভেক্টর পদ্ধতির সাহায্যে দেখাও যে, মধ্যমাগুলোর ছেদবিন্দু GG প্রতিটি মধ্যমাকে ২:১ অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।

    উত্তর দেখাও

    ধরি, প্রসঙ্গ বিন্দুর সাপেক্ষে A,B,CA, B, C-এর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে a⃗,b⃗,c⃗\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}। BCBC-এর মধ্যবিন্দু FF-এর অবস্থান ভেক্টর f⃗=b⃗+c⃗২\vec{f} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{২}। AFAF মধ্যমাকে ২:১ অনুপাতে অন্তর্বিভক্তকারী বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর g⃗=২f⃗+১a⃗২+১=২(b⃗+c⃗২)+a⃗৩=a⃗+b⃗+c⃗৩\vec{g} = \frac{২\vec{f} + ১\vec{a}}{২ + ১} = \frac{২\left(\frac{\vec{b} + \vec{c}}{২}\right) + \vec{a}}{৩} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{৩}। একইভাবে, CACA ও ABAB-এর মধ্যবিন্দুগামী অপর দুটি মধ্যমাকে ২:১ অনুপাতে বিভক্তকারী বিন্দুর অবস্থান ভেক্টরও অনুরূপ হিসাবের মাধ্যমে a⃗+b⃗+c⃗৩\frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{৩} পাওয়া যায়। যেহেতু তিনটি মধ্যমার ওপর ২:১ অনুপাতে বিভক্তকারী বিন্দুটি অভিন্ন (সবার অবস্থান ভেক্টর একই), তাই মধ্যমা তিনটি সমবিন্দু এবং তাদের সাধারণ ছেদবিন্দু GG প্রতিটি মধ্যমাকে ২:১ অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে।

সৃজনশীল প্রশ্নের উত্তর লেখার নিয়ম →