u⃗ একটি অশূন্য ভেক্টর যার মান |u⃗| = ১২ একক। যদি v⃗ = -১/৩u⃗ হয়, তবে v⃗ ভেক্টরের মান এবং u⃗-এর সাপেক্ষে এর দিক কোনটি?

সঠিক উত্তর: খ) মান ৪ একক এবং u⃗-এর বিপরীত মুখী। ভেক্টরের স্কেলার গুণিতক mu⃗-এর মান |mu⃗| = |m||u⃗|। এখানে m = -১/৩, তাই মান |v⃗| = |-১/৩| × ১২ = ১/৩ × ১২ = ৪ একক। যেহেতু স্কেলার গুণিতক m = -১/৩ < ০ (ঋণাত্মক), তাই v⃗-এর দিক u⃗-এর বিপরীত মুখী হবে।

রাজশাহীতে একটি ট্রাপিজিয়াম আকৃতির কৃষি প্রদর্শন খামার ABCD-এর সমান্তরাল সীমানাদ্বয় AB ∥ CD, যেখানে AB = ৪৬ m এবং CD = ১৮ m (AB > CD এবং এরা একই দিক নির্দেশ করে)। ট্রাপিজিয়ামটির কর্ণদ্বয় AC ও BD-এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P ও Q হলে, ভেক্টর উপপাদ্য অনুসারে মধ্যবিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী সরাসরি দূরত্ব PQ কত মিটার?

সঠিক উত্তর: ১৪ m। ভেক্টর উপপাদ্য অনুসারে, ট্রাপিজিয়ামের কর্ণদ্বয়ের মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমান্তরাল এবং তাদের ভেক্টর বিয়োগফলের অর্ধেকের সমান, অর্থাৎ P⃗Q⃗ = ১/২(A⃗B⃗ - D⃗C⃗)। যেহেতু A⃗B⃗ ও D⃗C⃗ একই দিকে ক্রিয়াশীল সমান্তরাল ভেক্টর, তাই ভেক্টর দুটির মানের বিয়োগফল দিয়ে PQ-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করা যায়: PQ = ১/২(AB - CD)। প্রদত্ত মান বসিয়ে পাই: PQ = ১/২(৪৬ - ১৮) = ১/২ × ২৮ = ১৪ m।

O মূলবিন্দুর সাপেক্ষে A ও B বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে 2î-ĵ ও 5î+3ĵ। এখানে î ও ĵ যথাক্রমে ধনাত্মক x ও y অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর। A⃗B⃗-এর দিকে একক ভেক্টর কোনটি?

সঠিক উত্তর: গ) 3/5î+4/5ĵ। শেষ বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর থেকে আদি বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর বিয়োগ করি। প্রাপ্ত ভেক্টরের মান নির্ণয় করি। ভেক্টরটিকে তার মান দিয়ে ভাগ করলে নির্ণেয় একক ভেক্টর পাওয়া যায়।

উচ্চতর গণিত · অধ্যায় ১২ · টপিক ৪

ভেক্টরের স্কেলার গুণিতক ও একক ভেক্টর

চালিয়ে দেখো এই অধ্যায় অনুশীলন করো

পড়ার নোট

স্কেলার গুণিতক ও বণ্টনবিধি

$\underline{u}$ যেকোনো ভেক্টর এবং $m$ যেকোনো বাস্তব সংখ্যা (স্কেলার) হলে $m\underline{u}$ কে $\underline{u}$ এর স্কেলার গুণিতক বলে। এর অর্থ:

$m=0$ হলে $m\underline{u}=\underline{0}$ , অর্থাৎ শূন্য ভেক্টর।
$m\neq0$ হলে $m\underline{u}$ এর দৈর্ঘ্য $|m|\,|\underline{u}|$ এবং ধারক রেখা $\underline{u}$ এর ধারক রেখার মতোই।
$m>0$ হলে $m\underline{u}$ এর দিক $\underline{u}$ এর দিকে; $m<0$ হলে বিপরীত দিকে।

বিশেষ ক্ষেত্রে $1\underline{u}=\underline{u}$ , $(-1)\underline{u}=-\underline{u}$ এবং $0\underline{u}=\underline{0}$ । একটি রেখায় পরপর ছয়টি সমান রেখাংশ $\underline{u}$ বসালে মোট ভেক্টর $6\underline{u}$ ; আবার দুটি করে জোড়া নিলে তা $3(2\underline{u})$ , তিনটি করে নিলে $2(3\underline{u})$ । তাই $m(n\underline{u})=n(m\underline{u})=(mn)\underline{u}$ ।

$m$ , $n$ স্কেলার এবং $\underline{u}$ , $\underline{v}$ ভেক্টর হলে বণ্টনবিধি দুটি হলো $(m+n)\underline{u}=m\underline{u}+n\underline{u}$ এবং $m(\underline{u}+\underline{v})=m\underline{u}+m\underline{v}$ । এদের সাহায্যে দেখানো যায় $(-m)\underline{a}=m(-\underline{a})=-(m\underline{a})$ ।

দুটি ভেক্টরের ধারক রেখা অভিন্ন বা সমান্তরাল হলে একটিকে অপরটির স্কেলার গুণিতক রূপে লেখা যায়: $\overrightarrow{AB}=m\overrightarrow{CD}$ , যেখানে $|m|=\dfrac{AB}{CD}$ । এ কারণে $\overrightarrow{AC}$ যদি $\overrightarrow{AB}$ এর স্কেলার গুণিতক হয়, তবে $A$ , $B$ , $C$ বিন্দু তিনটি সমরেখ।

একক ভেক্টর

যে ভেক্টরের দৈর্ঘ্য $1$ একক, তাকে একক ভেক্টর বলে। $\underline{a}\neq\underline{0}$ হলে $\hat{a}=\dfrac{1}{|\underline{a}|}\underline{a}$ হলো $\underline{a}$ এর দিকে একক ভেক্টর, কারণ $|\hat{a}|=\dfrac{1}{|\underline{a}|}|\underline{a}|=1$ এবং $\dfrac{1}{|\underline{a}|}$ ধনাত্মক বলে দিক বদলায় না।

উদাহরণ: $\overrightarrow{AB}=\underline{u}$ , $|\underline{u}|=2$ cm এবং $\overrightarrow{AC}=3\underline{u}$ । তাহলে $AC=3\times2=6$ cm এবং $\overrightarrow{AC}$ , $\overrightarrow{AB}$ এর স্কেলার গুণিতক বলে $A$ , $B$ , $C$ সমরেখ। $-2\underline{u}$ এর দৈর্ঘ্য $2\times2=4$ cm, দিক $\underline{u}$ এর বিপরীত। $\underline{u}$ এর দিকে একক ভেক্টর $\dfrac{1}{2}\underline{u}$ । এখানে $m$ একটি বিশুদ্ধ সংখ্যা, তাই এর একক নেই; দৈর্ঘ্যের একক $\underline{u}$ এর এককই।

সাধারণ ভুল হলো $m$ ঋণাত্মক হলে দৈর্ঘ্যও ঋণাত্মক লেখা। দৈর্ঘ্য সবসময় $|m|\,|\underline{u}|$ , অর্থাৎ অঋণাত্মক; ঋণ চিহ্ন শুধু দিক উল্টায়।

মনে রাখো: $m\underline{u}$ এর দৈর্ঘ্য $|m|\,|\underline{u}|$ এবং $m<0$ হলে দিক উল্টে যায়; $\dfrac{1}{|\underline{a}|}\underline{a}$ হলো $\underline{a}$ এর দিকে একক ভেক্টর।

২০২৬ সালের NCTB পাঠ্যবই অনুসরণ করে লেখা।

চালিয়ে দেখো

ম্যাপের দিক নির্দেশক তীর ও একক ভেক্টরচালিয়ে দেখো
একটি রাইড-শেয়ারিং ম্যাপ অ্যাপে গাড়ির গতির দিক a = (৬, ৮) ভেক্টর দিয়ে দেখানো হয়েছে। মূল ভেক্টরটির মান |a| = √(৬² + ৮²) = ১০। মোবাইলের স্ক্রিনে দিকটি উপযুক্ত আকারে দেখানোর জন্য অ্যাপটি ভেক্টরটিকে স্কেলার k = ০.৫ দিয়ে গুণ করে ০.৫a ভেক্টর তৈরি করে। এই নতুন ০.৫a ভেক্টরটির দৈর্ঘ্য কত হবে?

অনুশীলনের প্রশ্ন

$\vec{u}$ একটি অশূন্য ভেক্টর যার মান $|\vec{u}| = ১২$ একক। যদি $\vec{v} = -\frac{১}{৩}\vec{u}$ হয়, তবে $\vec{v}$ ভেক্টরের মান এবং $\vec{u}$ -এর সাপেক্ষে এর দিক কোনটি?
1. ক
  মান ৪ একক এবং $\vec{u}$ -এর একই মুখী
2. খ
  মান ৪ একক এবং $\vec{u}$ -এর বিপরীত মুখী
3. গ
  মান -৪ একক এবং $\vec{u}$ -এর বিপরীত মুখী
4. ঘ
  মান ৩৬ একক এবং $\vec{u}$ -এর বিপরীত মুখী
উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর:
খ) মান ৪ একক এবং $\vec{u}$ -এর বিপরীত মুখী
1. ভেক্টরের স্কেলার গুণিতক $m\vec{u}$ -এর মান $|m\vec{u}| = |m||\vec{u}|$ । এখানে $m = -\frac{১}{৩}$ , তাই মান $|\vec{v}| = |-\frac{১}{৩}| \times ১২ = \frac{১}{৩} \times ১২ = ৪$ একক।
$|\vec{v}| = |-\frac{1}{3}||\vec{u}| = \frac{1}{3} \times 12 = 4$
1. যেহেতু স্কেলার গুণিতক $m = -\frac{১}{৩} < ০$ (ঋণাত্মক), তাই $\vec{v}$ -এর দিক $\vec{u}$ -এর বিপরীত মুখী হবে।
$m < 0 \implies \text{direction is opposite to } \vec{u}$
রাজশাহীতে একটি ট্রাপিজিয়াম আকৃতির কৃষি প্রদর্শন খামার $ABCD$ -এর সমান্তরাল সীমানাদ্বয় $AB \parallel CD$ , যেখানে $AB = ৪৬\text{ m}$ এবং $CD = ১৮\text{ m}$ ( $AB > CD$ এবং এরা একই দিক নির্দেশ করে)। ট্রাপিজিয়ামটির কর্ণদ্বয় $AC$ ও $BD$ -এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে $P$ ও $Q$ হলে, ভেক্টর উপপাদ্য অনুসারে মধ্যবিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী সরাসরি দূরত্ব $PQ$ কত মিটার?
উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর:
১৪ m
1. ভেক্টর উপপাদ্য অনুসারে, ট্রাপিজিয়ামের কর্ণদ্বয়ের মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমান্তরাল এবং তাদের ভেক্টর বিয়োগফলের অর্ধেকের সমান, অর্থাৎ $\vec{PQ} = \frac{১}{২}(\vec{AB} - \vec{DC})$ ।
$\vec{PQ} = \frac{1}{2}(\vec{AB} - \vec{DC})$
1. যেহেতু $\vec{AB}$ ও $\vec{DC}$ একই দিকে ক্রিয়াশীল সমান্তরাল ভেক্টর, তাই ভেক্টর দুটির মানের বিয়োগফল দিয়ে $PQ$ -এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করা যায়: $PQ = \frac{১}{২}(AB - CD)$ ।
$PQ = \frac{1}{2}(AB - CD)$
1. প্রদত্ত মান বসিয়ে পাই: $PQ = \frac{১}{২}(৪৬ - ১৮) = \frac{১}{২} \times ২৮ = ১৪\text{ m}$ ।
$PQ = \frac{1}{2}(46 - 18) = 14\text{ m}$
$O$ মূলবিন্দুর সাপেক্ষে $A$ ও $B$ বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে $2\hat{i}-\hat{j}$ ও $5\hat{i}+3\hat{j}$ । এখানে $\hat{i}$ ও $\hat{j}$ যথাক্রমে ধনাত্মক $x$ ও $y$ অক্ষ বরাবর একক ভেক্টর। $\overrightarrow{AB}$ -এর দিকে একক ভেক্টর কোনটি?
1. ক
  $-\frac{3}{5}\hat{i}-\frac{4}{5}\hat{j}$
2. খ
  $\frac{3}{25}\hat{i}+\frac{4}{25}\hat{j}$
3. গ
  $\frac{3}{5}\hat{i}+\frac{4}{5}\hat{j}$
4. ঘ
  $\frac{7}{\sqrt{53}}\hat{i}+\frac{2}{\sqrt{53}}\hat{j}$
উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর:
গ) $\frac{3}{5}\hat{i}+\frac{4}{5}\hat{j}$
1. শেষ বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর থেকে আদি বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর বিয়োগ করি।
$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=3\hat{i}+4\hat{j}$
1. প্রাপ্ত ভেক্টরের মান নির্ণয় করি।
$|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{3^2+4^2}=5$
1. ভেক্টরটিকে তার মান দিয়ে ভাগ করলে নির্ণেয় একক ভেক্টর পাওয়া যায়।
$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}=\frac{3}{5}\hat{i}+\frac{4}{5}\hat{j}$

এই টপিক নিয়ে প্রশ্ন আছে?

মেন্টরকে বাংলায় বা ইংরেজিতে জিজ্ঞেস করো, বা খাতার ছবি দাও। সিমুলেশন চালিয়ে বুঝিয়ে দেবে।

মেন্টরকে জিজ্ঞেস করো