offSchoolবেটা

উচ্চতর গণিত · অধ্যায় ১২ · টপিক ৫

বিভিন্ন জ্যামিতিক সমস্যা

এই অধ্যায় অনুশীলন করো

পড়ার নোট

ভেক্টরের সাহায্যে জ্যামিতির অনেক প্রমাণ ছোট হয়ে যায়। কৌশল সাধারণত একই: বাহুগুলোকে ভেক্টর ধরো, যোগ-বিয়োগের ত্রিভুজবিধি ও স্কেলার গুণিতক ব্যবহার করে সম্পর্ক বের করো। দুটি ভেক্টর একটি অপরটির স্কেলার গুণিতক হলে রেখা দুটি সমান্তরাল।

ধাপ:

  • প্রয়োজনীয় ভেক্টরগুলোর নাম দাও, যেমন AB→\overrightarrow{AB}, AC→\overrightarrow{AC}।
  • মধ্যবিন্দু দেওয়া থাকলে তা থেকে লেখো, যেমন AC→=2AE→\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AE}।
  • ত্রিভুজবিধি দিয়ে অজানা ভেক্টরকে জানা ভেক্টরের মাধ্যমে প্রকাশ করো।
  • ফল দেখে সমান্তরালতা বা দৈর্ঘ্যের সম্পর্ক সিদ্ধান্ত নাও।

উদাহরণ ১ (সামান্তরিকের কর্ণ): ABCDABCD সামান্তরিকে AC→=AB→+BC→=AB→+AD→\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} (কারণ BC→=AD→\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD})। আবার AB→+BD→=AD→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} থেকে BD→=AD→−AB→\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}।

উদাহরণ ২ (মধ্যবিন্দু উপপাদ্য): ত্রিভুজ ABCABC-তে DD, EE যথাক্রমে ABAB ও ACAC-এর মধ্যবিন্দু। প্রমাণ করতে হবে DE∥BCDE \parallel BC এবং DE=12BCDE = \dfrac{1}{2}BC।

  • DE→=AE→−AD→\overrightarrow{DE} = \overrightarrow{AE} - \overrightarrow{AD} এবং BC→=AC→−AB→\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}।
  • মধ্যবিন্দু বলে AC→=2AE→\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AE} ও AB→=2AD→\overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{AD}।
  • তাই BC→=2AE→−2AD→=2DE→\overrightarrow{BC} = 2\overrightarrow{AE} - 2\overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{DE}, অর্থাৎ DE→=12BC→\overrightarrow{DE} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}।
  • সুতরাং DE∥BCDE \parallel BC এবং DE=12BCDE = \dfrac{1}{2}BC।

উদাহরণ ৩ (সামান্তরিকের কর্ণ পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে): কর্ণ ACAC ও BDBD বিন্দু OO-তে ছেদ করলে AO→\overrightarrow{AO} ও OC→\overrightarrow{OC} একই ধারক রেখায়, BO→\overrightarrow{BO} ও OD→\overrightarrow{OD} একই ধারক রেখায়। সমীকরণ থেকে বের হয় AO→=OC→\overrightarrow{AO} = \overrightarrow{OC} ও BO→=OD→\overrightarrow{BO} = \overrightarrow{OD}; কারণ ACAC ও BDBD সমান্তরাল নয়। অতএব কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

উদাহরণ ৪ (চতুর্ভুজের বাহুর মধ্যবিন্দু): ABCDABCD চতুর্ভুজের চার বাহুর মধ্যবিন্দু P,Q,R,SP, Q, R, S হলে PQ→=12(AB→+BC→)=12AC→\overrightarrow{PQ} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}) = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC} এবং SR→=12AC→\overrightarrow{SR} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}। তাই PQPQ ও SRSR সমান ও সমান্তরাল। একইভাবে QRQR ও PSPS সমান ও সমান্তরাল, অতএব PQRSPQRS সামান্তরিক।

মনে রাখো: জ্যামিতিক সমস্যায় বাহুগুলোকে ভেক্টর ধরে ত্রিভুজবিধি ও স্কেলার গুণিতক ব্যবহার করো; DE→=12BC→\overrightarrow{DE} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC} মানেই DE∥BCDE \parallel BC ও DE=12BCDE = \dfrac{1}{2}BC।

২০২৬ সালের NCTB পাঠ্যবই অনুসরণ করে লেখা।

অনুশীলনের প্রশ্ন

  1. △ABC\triangle ABC-এ BCBC বাহুর মধ্যবিন্দু DD হলে, ভেক্টর যোগবিধি অনুসারে AB⃗+AC⃗\vec{AB} + \vec{AC}-এর সমান কোনটি?

    1. ক

      ২AD⃗২\vec{AD}

    2. খ

      AD⃗\vec{AD}

    3. গ

      ১২AD⃗\frac{১}{২}\vec{AD}

    4. ঘ

      ২DA⃗২\vec{DA}

    উত্তর ও ব্যাখ্যা
    সঠিক উত্তর:

    ক) ২AD⃗২\vec{AD}

    1. △ABD\triangle ABD-এ ত্রিভুজ বিধি অনুসারে AB⃗+BD⃗=AD⃗  ⟹  AB⃗=AD⃗−BD⃗\vec{AB} + \vec{BD} = \vec{AD} \implies \vec{AB} = \vec{AD} - \vec{BD}।
    2. △ACD\triangle ACD-এ একইভাবে AC⃗+CD⃗=AD⃗  ⟹  AC⃗=AD⃗−CD⃗\vec{AC} + \vec{CD} = \vec{AD} \implies \vec{AC} = \vec{AD} - \vec{CD}।
    3. যোগ করে পাই: AB⃗+AC⃗=২AD⃗−(BD⃗+CD⃗)\vec{AB} + \vec{AC} = ২\vec{AD} - (\vec{BD} + \vec{CD})। যেহেতু DD বিন্দু BCBC-এর মধ্যবিন্দু, তাই BD⃗=−CD⃗  ⟹  BD⃗+CD⃗=0⃗\vec{BD} = -\vec{CD} \implies \vec{BD} + \vec{CD} = \vec{0}। অতএব AB⃗+AC⃗=২AD⃗\vec{AB} + \vec{AC} = ২\vec{AD}।
    AB⃗+AC⃗=2AD⃗\vec{AB} + \vec{AC} = 2\vec{AD}

  2. রাজশাহীতে একটি ট্রাপিজিয়াম আকৃতির কৃষি প্রদর্শন খামার ABCDABCD-এর সমান্তরাল সীমানাদ্বয় AB∥CDAB \parallel CD, যেখানে AB=৪৬ mAB = ৪৬\text{ m} এবং CD=১৮ mCD = ১৮\text{ m} (AB>CDAB > CD এবং এরা একই দিক নির্দেশ করে)। ট্রাপিজিয়ামটির কর্ণদ্বয় ACAC ও BDBD-এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে PP ও QQ হলে, ভেক্টর উপপাদ্য অনুসারে মধ্যবিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী সরাসরি দূরত্ব PQPQ কত মিটার?

    উত্তর ও ব্যাখ্যা
    সঠিক উত্তর:

    ১৪ m

    1. ভেক্টর উপপাদ্য অনুসারে, ট্রাপিজিয়ামের কর্ণদ্বয়ের মধ্যবিন্দুর সংযোজক রেখাংশ সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমান্তরাল এবং তাদের ভেক্টর বিয়োগফলের অর্ধেকের সমান, অর্থাৎ PQ⃗=১২(AB⃗−DC⃗)\vec{PQ} = \frac{১}{২}(\vec{AB} - \vec{DC})।
    PQ⃗=12(AB⃗−DC⃗)\vec{PQ} = \frac{1}{2}(\vec{AB} - \vec{DC})
    1. যেহেতু AB⃗\vec{AB} ও DC⃗\vec{DC} একই দিকে ক্রিয়াশীল সমান্তরাল ভেক্টর, তাই ভেক্টর দুটির মানের বিয়োগফল দিয়ে PQPQ-এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করা যায়: PQ=১২(AB−CD)PQ = \frac{১}{২}(AB - CD)।
    PQ=12(AB−CD)PQ = \frac{1}{2}(AB - CD)
    1. প্রদত্ত মান বসিয়ে পাই: PQ=১২(৪৬−১৮)=১২×২৮=১৪ mPQ = \frac{১}{২}(৪৬ - ১৮) = \frac{১}{২} \times ২৮ = ১৪\text{ m}।
    PQ=12(46−18)=14 mPQ = \frac{1}{2}(46 - 18) = 14\text{ m}

  3. PP, QQ ও RR সমরেখ হওয়ার জন্য tt-এর মান কত হতে হবে?

    1. ক

      13\frac{1}{3}

    2. খ

      23\frac{2}{3}

    3. গ

      −23-\frac{2}{3}

    4. ঘ

      −13-\frac{1}{3}

    উত্তর ও ব্যাখ্যা
    সঠিক উত্তর:

    ঘ) −13-\frac{1}{3}

    1. AB→=a⃗\overrightarrow{AB}=\vec{a} ও AD→=b⃗\overrightarrow{AD}=\vec{b} ধরি। প্রদত্ত অনুপাত থেকে PP ও QQ-এর অবস্থান নির্ণয় করি।
    AP→=13a⃗,AQ→=a⃗+23b⃗,PQ→=23a⃗+23b⃗\overrightarrow{AP}=\frac{1}{3}\vec{a},\quad \overrightarrow{AQ}=\vec{a}+\frac{2}{3}\vec{b},\quad \overrightarrow{PQ}=\frac{2}{3}\vec{a}+\frac{2}{3}\vec{b}
    1. বিন্দু তিনটি সমরেখ হলে কোনো বাস্তব সংখ্যা kk-এর জন্য PR→=kPQ→\overrightarrow{PR}=k\overrightarrow{PQ} হবে।
    −13a⃗+tb⃗=k(23a⃗+23b⃗)-\frac{1}{3}\vec{a}+t\vec{b}=k\left(\frac{2}{3}\vec{a}+\frac{2}{3}\vec{b}\right)
    1. a⃗\vec{a} ও b⃗\vec{b} সমান্তরাল নয় বলে সহগ তুলনা করে k=−12k=-\frac{1}{2} এবং t=−13t=-\frac{1}{3} পাই। অর্থাৎ RR বিন্দু AA-এর দিকে DADA-এর বর্ধিতাংশে অবস্থিত।
    −13=2k3⇒k=−12,t=2k3=−13-\frac{1}{3}=\frac{2k}{3}\Rightarrow k=-\frac{1}{2},\qquad t=\frac{2k}{3}=-\frac{1}{3}

এই টপিক নিয়ে প্রশ্ন আছে?

মেন্টরকে বাংলায় বা ইংরেজিতে জিজ্ঞেস করো, বা খাতার ছবি দাও। সিমুলেশন চালিয়ে বুঝিয়ে দেবে।

মেন্টরকে জিজ্ঞেস করো