△ ABC-এ BC বাহুর মধ্যবিন্দু D হলে, ভেক্টর যোগবিধি অনুসারে A⃗B⃗ + A⃗C⃗-এর সমান কোনটি?

সঠিক উত্তর: ক) ২A⃗D⃗। △ ABD-এ ত্রিভুজ বিধি অনুসারে A⃗B⃗ + B⃗D⃗ = A⃗D⃗ ⇒ A⃗B⃗ = A⃗D⃗ - B⃗D⃗। △ ACD-এ একইভাবে A⃗C⃗ + C⃗D⃗ = A⃗D⃗ ⇒ A⃗C⃗ = A⃗D⃗ - C⃗D⃗। যোগ করে পাই: A⃗B⃗ + A⃗C⃗ = ২A⃗D⃗ - (B⃗D⃗ + C⃗D⃗)। যেহেতু D বিন্দু BC-এর মধ্যবিন্দু, তাই B⃗D⃗ = -C⃗D⃗ ⇒ B⃗D⃗ + C⃗D⃗ = 0⃗। অতএব A⃗B⃗ + A⃗C⃗ = ২A⃗D⃗।

পদ্মা নদীতে একটি ইঞ্জিনচালিত নৌকা উত্তর দিকে ৪ m/s বেগে চালনা করা হচ্ছে। নদীটিতে পূর্ব দিকে ৩ m/s বেগে প্রবল স্রোত বইছে। নৌকাটির প্রকৃত লব্ধি বেগ (resultant velocity) কত?

সঠিক উত্তর: খ) ৫ m/s। উত্তর ও পূর্ব দিক পরস্পরের ওপর লম্ব, ফলে বেগদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ α = ৯০°। ভেক্টর যোগের সামান্তরিক সূত্রানুসারে লব্ধি বেগ v = √(v₁² + v₂² + ২v₁ v₂ cos ৯০°) = √(৪² + ৩²) = √(১৬ + ৯) = √২৫ = ৫ m/s।

সিলেটের একটি চা বাগানের ড্রোন জরিপে পর্যবেক্ষণ কেন্দ্র O-এর সাপেক্ষে দুটি সীমানা খুঁটি P ও Q-এর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে O⃗P⃗ = (২i⃗ + ৫j⃗) m এবং O⃗Q⃗ = (১৪i⃗ + ১০j⃗) m। P ও Q খুঁটি দুটির মধ্যবর্তী সরাসরি সরলরৈখিক দূরত্ব কত মিটার?

সঠিক উত্তর: ১৩ m। অবস্থান ভেক্টরের সংজ্ঞানুসারে সরণ ভেক্টর P⃗Q⃗ = O⃗Q⃗ - O⃗P⃗। মান বসিয়ে পাই: P⃗Q⃗ = (১৪i⃗ + ১০j⃗) - (২i⃗ + ৫j⃗) = (১৪ - ২)i⃗ + (১০ - ৫)j⃗ = ১২i⃗ + ৫j⃗। P ও Q-এর মধ্যবর্তী দূরত্ব হলো ভেক্টর P⃗Q⃗-এর পরমমান: |P⃗Q⃗| = √(১২² + ৫²) = √(১৪৪ + ২৫) = √১৬৯ = ১৩ m।

উচ্চতর গণিত · অধ্যায় ১২ · টপিক ৩

ভেক্টর যোগ ও যোগবিধি

চালিয়ে দেখো এই অধ্যায় অনুশীলন করো

পড়ার নোট

যোগ

$\underline{u}$ ভেক্টরের অন্তবিন্দু থেকে $\underline{v}$ আঁকলে, $\underline{u}$ -এর আদিবিন্দু থেকে $\underline{v}$ -এর অন্তবিন্দু পর্যন্ত যে ভেক্টর পাওয়া যায় সেটিই $\underline{u} + \underline{v}$ । অর্থাৎ $\overrightarrow{AB} = \underline{u}$ ও $\overrightarrow{BC} = \underline{v}$ হলে

\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}

এটি যোগের ত্রিভুজবিধি, কারণ তিনটি ভেক্টর একটি ত্রিভুজ তৈরি করে। ভেক্টর দুটি সমান্তরাল হলেও ত্রিভুজবিধি খাটে।

সামান্তরিকবিধি: একই বিন্দু থেকে আঁকা $\underline{u}$ ও $\underline{v}$ কে সামান্তরিকের দুই সন্নিহিত বাহু ধরলে, ওই বিন্দুগামী কর্ণটিই $\underline{u} + \underline{v}$ নির্দেশ করে। ভেক্টর দুটি সমান্তরাল হলে এই বিধি খাটে না।

উদাহরণ: একজন $A$ থেকে পূর্বে $3$ মিটার ( $\overrightarrow{AB}$ ), তারপর উত্তরে $4$ মিটার ( $\overrightarrow{BC}$ ) গেল। মোট সরণ $\overrightarrow{AC}$ , এর দৈর্ঘ্য $\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$ মিটার। পথ হেঁটেছে $3 + 4 = 7$ মিটার, কিন্তু সরণ $5$ মিটার।

যোগবিধি

বিনিময়বিধি: $\underline{u} + \underline{v} = \underline{v} + \underline{u}$
সংযোগবিধি: $(\underline{u} + \underline{v}) + \underline{w} = \underline{u} + (\underline{v} + \underline{w})$
বর্জনবিধি: $\underline{u} + \underline{v} = \underline{u} + \underline{w}$ হলে $\underline{v} = \underline{w}$

শূন্য ভেক্টর $\underline{0}$ হলো যার দৈর্ঘ্য শূন্য এবং কোনো নির্দিষ্ট দিক নেই। $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{AA} = \underline{0}$ , তাই $\underline{u} + (-\underline{u}) = \underline{0}$ এবং $\underline{u} + \underline{0} = \underline{u}$ । এর একটি ফল: ত্রিভুজের তিন বাহু একই ক্রমে নিলে ভেক্টরগুলোর যোগফল শূন্য, যেমন $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} = \underline{0}$ ।

বিয়োগ

$\underline{u} - \underline{v}$ মানে $\underline{u} + (-\underline{v})$ । বিয়োগের ত্রিভুজবিধি: আদিবিন্দু একই হলে, $\overrightarrow{AB} = \underline{u}$ ও $\overrightarrow{AC} = \underline{v}$ -এর জন্য

\underline{u} - \underline{v} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CB}

অর্থাৎ বিয়োগফল হলো $\underline{v}$ -এর অন্তবিন্দু থেকে $\underline{u}$ -এর অন্তবিন্দুর দিকের ভেক্টর।

মনে রাখো: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$ ; ভেক্টর যোগে বিনিময় ও সংযোগবিধি খাটে, আর $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CB}$ ।

২০২৬ সালের NCTB পাঠ্যবই অনুসরণ করে লেখা।

চালিয়ে দেখো

পদ্মা নদী পারাপার ও ভেক্টর যোগচালিয়ে দেখো
শান্ত পদ্মা নদীতে একটি নৌকা সোজা উত্তর মুখে ৪ m/s বেগে চালিয়ে ঠিক সোজাসুজি অপর পাড়ে পৌঁছায় (স্রোতের বেগ bx = ০ হলে লব্ধির দিক ৯০°)। এবার নদীতে পূর্ব দিকে ৩ m/s বেগে প্রবল স্রোত বইতে শুরু করল (bx = ৩ m/s)। মাঝি যদি আগের মতোই সোজা উত্তর মুখে (ax = ০, ay = ৪ m/s) নৌকা চালায়, তবে নৌকাটি কি ঠিক সোজাসুজি অপর পাড়ে পৌঁছাবে এবং তার লব্ধি বেগ কত হবে?

অনুশীলনের প্রশ্ন

$\triangle ABC$ -এ $BC$ বাহুর মধ্যবিন্দু $D$ হলে, ভেক্টর যোগবিধি অনুসারে $\vec{AB} + \vec{AC}$ -এর সমান কোনটি?
1. ক
  $২\vec{AD}$
2. খ
  $\vec{AD}$
3. গ
  $\frac{১}{২}\vec{AD}$
4. ঘ
  $২\vec{DA}$
উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর:
ক) $২\vec{AD}$
1. $\triangle ABD$ -এ ত্রিভুজ বিধি অনুসারে $\vec{AB} + \vec{BD} = \vec{AD} \implies \vec{AB} = \vec{AD} - \vec{BD}$ ।
2. $\triangle ACD$ -এ একইভাবে $\vec{AC} + \vec{CD} = \vec{AD} \implies \vec{AC} = \vec{AD} - \vec{CD}$ ।
3. যোগ করে পাই: $\vec{AB} + \vec{AC} = ২\vec{AD} - (\vec{BD} + \vec{CD})$ । যেহেতু $D$ বিন্দু $BC$ -এর মধ্যবিন্দু, তাই $\vec{BD} = -\vec{CD} \implies \vec{BD} + \vec{CD} = \vec{0}$ । অতএব $\vec{AB} + \vec{AC} = ২\vec{AD}$ ।
$\vec{AB} + \vec{AC} = 2\vec{AD}$
পদ্মা নদীতে একটি ইঞ্জিনচালিত নৌকা উত্তর দিকে ৪ m/s বেগে চালনা করা হচ্ছে। নদীটিতে পূর্ব দিকে ৩ m/s বেগে প্রবল স্রোত বইছে। নৌকাটির প্রকৃত লব্ধি বেগ (resultant velocity) কত?
1. ক
  ১ m/s
2. খ
  ৫ m/s
3. গ
  ৭ m/s
4. ঘ
  ১২ m/s
উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর:
খ) ৫ m/s
1. উত্তর ও পূর্ব দিক পরস্পরের ওপর লম্ব, ফলে বেগদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ $\alpha = ৯০^\circ$ ।
$\alpha = 90^\circ$
1. ভেক্টর যোগের সামান্তরিক সূত্রানুসারে লব্ধি বেগ $v = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + ২v_1 v_2 \cos ৯০^\circ} = \sqrt{৪^২ + ৩^২} = \sqrt{১৬ + ৯} = \sqrt{২৫} = ৫\text{ m/s}$ ।
$v = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5\text{ m/s}$
সিলেটের একটি চা বাগানের ড্রোন জরিপে পর্যবেক্ষণ কেন্দ্র $O$ -এর সাপেক্ষে দুটি সীমানা খুঁটি $P$ ও $Q$ -এর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে $\vec{OP} = (২\vec{i} + ৫\vec{j})\text{ m}$ এবং $\vec{OQ} = (১৪\vec{i} + ১০\vec{j})\text{ m}$ । $P$ ও $Q$ খুঁটি দুটির মধ্যবর্তী সরাসরি সরলরৈখিক দূরত্ব কত মিটার?
উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর:
১৩ m
1. অবস্থান ভেক্টরের সংজ্ঞানুসারে সরণ ভেক্টর $\vec{PQ} = \vec{OQ} - \vec{OP}$ ।
2. মান বসিয়ে পাই: $\vec{PQ} = (১৪\vec{i} + ১০\vec{j}) - (২\vec{i} + ৫\vec{j}) = (১৪ - ২)\vec{i} + (১০ - ৫)\vec{j} = ১২\vec{i} + ৫\vec{j}$ ।
$\vec{PQ} = 12\vec{i} + 5\vec{j}$
1. $P$ ও $Q$ -এর মধ্যবর্তী দূরত্ব হলো ভেক্টর $\vec{PQ}$ -এর পরমমান: $|\vec{PQ}| = \sqrt{১২^২ + ৫^২} = \sqrt{১৪৪ + ২৫} = \sqrt{১৬৯} = ১৩\text{ m}$ ।
$|\vec{PQ}| = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{169} = 13\text{ m}$

এই টপিক নিয়ে প্রশ্ন আছে?

মেন্টরকে বাংলায় বা ইংরেজিতে জিজ্ঞেস করো, বা খাতার ছবি দাও। সিমুলেশন চালিয়ে বুঝিয়ে দেবে।

মেন্টরকে জিজ্ঞেস করো