সমান ভেক্টর, বিপরীত ভেক্টর ও অবস্থান ভেক্টর

অনুশীলনের প্রশ্ন

1. ১

   সিলেটের একটি চা বাগানের ড্রোন জরিপে পর্যবেক্ষণ কেন্দ্র $O$-এর সাপেক্ষে দুটি সীমানা খুঁটি $P$ ও $Q$-এর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে $\vec{OP} = (২\vec{i} + ৫\vec{j})\text{ m}$ এবং $\vec{OQ} = (১৪\vec{i} + ১০\vec{j})\text{ m}$। $P$ ও $Q$ খুঁটি দুটির মধ্যবর্তী সরাসরি সরলরৈখিক দূরত্ব কত মিটার?

   উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর:

   ১৩ m

   1. অবস্থান ভেক্টরের সংজ্ঞানুসারে সরণ ভেক্টর $\vec{PQ} = \vec{OQ} - \vec{OP}$।
   2. মান বসিয়ে পাই: $\vec{PQ} = (১৪\vec{i} + ১০\vec{j}) - (২\vec{i} + ৫\vec{j}) = (১৪ - ২)\vec{i} + (১০ - ৫)\vec{j} = ১২\vec{i} + ৫\vec{j}$।

   $$\vec{PQ} = 12\vec{i} + 5\vec{j}$$

   3. $P$ ও $Q$-এর মধ্যবর্তী দূরত্ব হলো ভেক্টর $\vec{PQ}$-এর পরমমান: $|\vec{PQ}| = \sqrt{১২^২ + ৫^২} = \sqrt{১৪৪ + ২৫} = \sqrt{১৬৯} = ১৩\text{ m}$।

   $$|\vec{PQ}| = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{169} = 13\text{ m}$$
2. ২

   দুটি অশূন্য ভেক্টরের লব্ধি কখন শূন্য ভেক্টর (zero vector, $\vec{0}$) হয়? কারণসহ ব্যাখ্যা করো।

   উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর:

   দুটি অশূন্য ভেক্টরের লব্ধি কেবল তখনই শূন্য ভেক্টর হয় যখন তাদের মান পরস্পর সমান, ধারক রেখা একই বা সমান্তরাল এবং দিক বিপরীতমুখী হয়। অর্থাৎ দ্বিতীয় ভেক্টরটি প্রথম ভেক্টরের যোগাশ্রয়ী বিপরীত ভেক্টর (additive inverse) $\vec{v} = -\vec{u}$ হলে $\vec{u} + \vec{v} = \vec{u} + (-\vec{u}) = \vec{0}$ হয়। এক্ষেত্রে প্রথম ভেক্টরের প্রারম্ভ বিন্দু এবং দ্বিতীয় ভেক্টরের প্রান্ত বিন্দু একই বিন্দুতে মিশে যাওয়ায় লব্ধির পরমমান শূন্য হয়।

   1. দুটি ভেক্টর $\vec{u}$ ও $\vec{v}$-এর লব্ধি শূন্য হওয়ার শর্ত হলো $\vec{u} + \vec{v} = \vec{0} \implies \vec{v} = -\vec{u}$।
   2. বিপরীত ভেক্টরের সংজ্ঞানুসারে $|\vec{v}| = |-\vec{u}| = |\vec{u}|$, অর্থাৎ ভেক্টরদ্বয়ের পরমমান বা দৈর্ঘ্য সমান হতে হবে।

   $$|\vec{v}| = |\vec{u}|$$

   3. একই সাথে ভেক্টরদ্বয়ের ধারক রেখা একই বা সমান্তরাল এবং তাদের দিক পরস্পরের ঠিক বিপরীতমুখী হতে হবে।
3. ৩

   দুটি অশূন্য ভেক্টর $\vec{a}$ ও $\vec{b}$-এর ক্ষেত্রে $\vec{a}=-\vec{b}$। তাহলে—

   i. ভেক্টর দুটির মান সমান

   ii. ভেক্টর দুটির দিক বিপরীত

   iii. ভেক্টর দুটি সমান ভেক্টর

   নিচের কোনটি সঠিক?

   1. ক

      i ও iii

   2. খ

      ii ও iii

   3. গ

      i ও ii

   4. ঘ

      i, ii ও iii

   উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর:

   গ) i ও ii

   1. বিপরীত ভেক্টরের মান সমান এবং দিক বিপরীত। তাই i ও ii সঠিক।

   $$|\vec{a}|=|\vec{b}|$$

   2. সমান ভেক্টরের দিকও একই হতে হয়। ভেক্টর দুটি অশূন্য ও বিপরীতমুখী হওয়ায় iii সঠিক নয়।