স্থানাঙ্ক জ্যামিতি

দুইটি বিন্দুগামী সরলরেখার ঢাল $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$। $A(১, ১)$ ও $B(৭, ৩)$ বিন্দুগামী $AB$ রেখার ঢাল $m_1 = \frac{৩ - ১}{৭ - ১} = \frac{২}{৬} = \frac{১}{৩}$। আবার, $C(৫, ৭)$ ও $D(-১, ৫)$ বিন্দুগামী $CD$ রেখার ঢাল $m_2 = \frac{৫ - ৭}{-১ - ৫} = \frac{-২}{-৬} = \frac{১}{৩}$। যেহেতু $m_1 = m_2 = \frac{১}{৩}$, অর্থাৎ রেখাদ্বয়ের ঢাল সমান, তাই $AB$ ও $CD$ সরলরেখা দুটি পরস্পর সমান্তরাল।

বিন্দুগুলোকে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত ক্রমে নিয়ে চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল: $\text{ক্ষেত্রফল} = \frac{১}{২} |(x_1 y_2 + x_2 y_3 + x_3 y_4 + x_4 y_1) - (y_1 x_2 + y_2 x_3 + y_3 x_4 + y_4 x_1)|$। শীর্ষবিন্দু $A(১, ১)$, $B(৭, ৩)$, $C(৫, ৭)$, $D(-১, ৫)$-এর মান বসিয়ে পাই: ১ম গুণফল সমষ্টি $= ১ \times ৩ + ৭ \times ৭ + ৫ \times ৫ + (-১) \times ১ = ৩ + ৪৯ + ২৫ - ১ = ৭৬$। ২য় গুণফল সমষ্টি $= ১ \times ৭ + ৩ \times ৫ + ৭ \times (-১) + ৫ \times ১ = ৭ + ১৫ - ৭ + ৫ = ২০$। অতএব ক্ষেত্রফল $= \frac{১}{২} |৭৬ - ২০| = \frac{১}{২} \times ৫৬ = ২৮$ বর্গ একক।

দূরত্ব সূত্র $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ প্রয়োগ করে বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য পাই: $AB = \sqrt{(৭ - ১)^২ + (৩ - ১)^২} = \sqrt{৩৬ + ৪} = \sqrt{৪০} = ২\sqrt{১০}$ একক। $CD = \sqrt{(-১ - ৫)^২ + (৫ - ৭)^২} = \sqrt{৩৬ + ৪} = \sqrt{৪০} = ২\sqrt{১০}$ একক। $BC = \sqrt{(৫ - ৭)^২ + (৭ - ৩)^২} = \sqrt{৪ + ১৬} = \sqrt{২০} = ২\sqrt{৫}$ একক। $DA = \sqrt{(১ - (-১))^২ + (১ - ৫)^২} = \sqrt{৪ + ১৬} = \sqrt{২০} = ২\sqrt{৫}$ একক। এখানে বিপরীত বাহুদ্বয় সমান ($AB = CD$ এবং $BC = DA$), তবে সন্নিহিত বাহুদ্বয় অসমান ($AB \ne BC$), তাই এটি রম্বস নয়। এবার কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য: $AC = \sqrt{(৫ - ১)^২ + (৭ - ১)^২} = \sqrt{১৬ + ৩৬} = \sqrt{৫২} = ২\sqrt{১৩}$ একক। $BD = \sqrt{(-১ - ৭)^২ + (৫ - ৩)^২} = \sqrt{৬৪ + ৪} = \sqrt{৬৮} = ২\sqrt{১৭}$ একক। যেহেতু কর্ণদ্বয় অসমান ($AC \ne BD$), তাই এটি আয়তক্ষেত্র নয়। বিপরীত বাহুগুলো সমান ও সমান্তরাল কিন্তু কর্ণদ্বয় অসমান হওয়ায় $ABCD$ একটি সামান্তরিক (parallelogram)।