কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক সমতলে (Cartesian coordinate plane) A(k, ৩) বিন্দুর মূলবিন্দু (origin) O(০, ০) থেকে দূরত্ব ৫ একক এবং বিন্দুটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে (second quadrant) অবস্থিত হলে k-এর মান কত?

সঠিক উত্তর: খ) -৪। মূলবিন্দু O(০, ০) থেকে যেকোনো বিন্দু A(k, ৩)-এর দূরত্বের সূত্র হলো OA = √(k² + ৩²)। উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই: k² + ৯ = ২৫ ⇒ k² = ২৫ - ৯ = ১৬ ⇒ k = ± ৪। যেহেতু A(k, ৩) বিন্দুটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত, তাই এর ভুজ ঋণাত্মক (k < ০) হবে। সুতরাং k = -৪।

বগুড়ার একটি কৃষি গবেষণা খামারের ত্রিভুজাকার জমির তিনটি কোণার স্থানাঙ্ক যথাক্রমে A(১০, ২০), B(৫০, ৪০) এবং C(৩০, ৮০), যেখানে প্রতিটি একক ১ মিটার (m)। জমিটির A কোণা থেকে বিপরীত সীমানা BC-এর মধ্যবিন্দু D পর্যন্ত একটি পানির নালার সরাসরি সরলরৈখিক দৈর্ঘ্য কত মিটার?

সঠিক উত্তর: ৫০ m। B(৫০, ৪০) এবং C(৩০, ৮০) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগকারী রেখাংশের মধ্যবিন্দু D-এর স্থানাঙ্ক: D((x₁ + x₂)/২, (y₁ + y₂)/২)। মান হিসাব করে পাই: x_D = ৮০/২ = ৪০ এবং y_D = ১২০/২ = ৬০, অর্থাৎ মধ্যবিন্দু D(৪০, ৬০)। এখন A(১০, ২০) এবং D(৪০, ৬০) বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব: AD = √((৪০ - ১০)² + (৬০ - ২০)²)। AD = √(৯০০ + ১৬০০) = √২৫০০ = ৫০ m।

তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত কোনো বিন্দুর ভুজ ও কোটের চিহ্ন যথাক্রমে কোনটি?

সঠিক উত্তর: ঘ) ঋণাত্মক, ঋণাত্মক। তৃতীয় চতুর্ভাগে ভুজ ও কোট উভয়ই ঋণাত্মক।

উচ্চতর গণিত · অধ্যায় ১১ · টপিক ১

সমতলে কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক

Q: বগুড়ার একটি কৃষি গবেষণা খামারের ত্রিভুজাকার জমির তিনটি কোণার স্থানাঙ্ক যথাক্রমে A(১০, ২০), B(৫০, ৪০) এবং C(৩০, ৮০), যেখানে প্রতিটি একক ১ মিটার (m)। জমিটির A কোণা থেকে বিপরীত সীমানা BC-এর মধ্যবিন্দু D পর্যন্ত একটি পানির নালার সরাসরি সরলরৈখিক দৈর্ঘ্য কত মিটার?

সঠিক উত্তর: ৫০ m। B(৫০, ৪০) এবং C(৩০, ৮০) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগকারী রেখাংশের মধ্যবিন্দু D-এর স্থানাঙ্ক: D((x₁ + x₂)/২, (y₁ + y₂)/২)। মান হিসাব করে পাই: x_D = ৮০/২ = ৪০ এবং y_D = ১২০/২ = ৬০, অর্থাৎ মধ্যবিন্দু D(৪০, ৬০)। এখন A(১০, ২০) এবং D(৪০, ৬০) বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব: AD = √((৪০ - ১০)² + (৬০ - ২০)²)। AD = √(৯০০ + ১৬০০) = √২৫০০ = ৫০ m।

Q: তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত কোনো বিন্দুর ভুজ ও কোটের চিহ্ন যথাক্রমে কোনটি?

সঠিক উত্তর: ঘ) ঋণাত্মক, ঋণাত্মক। তৃতীয় চতুর্ভাগে ভুজ ও কোট উভয়ই ঋণাত্মক।

চালিয়ে দেখো এই অধ্যায় অনুশীলন করো

পড়ার নোট

সমতলে কোনো বিন্দুর সঠিক অবস্থান বলতে হলে পরস্পরকে সমকোণে ছেদ করে এমন দুইটি সরলরেখা থেকে তার দূরত্ব জানা দরকার। এই রেখা দুইটি হলো অক্ষ।

$XOX'$ রেখাকে বলে $x$ অক্ষ, $YOY'$ রেখাকে বলে $y$ অক্ষ।
অক্ষদ্বয়ের ছেদবিন্দু $O$ -কে বলে মূলবিন্দু।

কোনো বিন্দু $P$ থেকে $y$ অক্ষের লম্ব দূরত্ব $x$ -কে বলে ভুজ ( $x$ স্থানাঙ্ক), আর $x$ অক্ষ থেকে লম্ব দূরত্ব $y$ -কে বলে কোটি ( $y$ স্থানাঙ্ক)। দুটিকে একসাথে বলে স্থানাঙ্ক, লেখা হয় $P(x, y)$ । অক্ষ দুটি সমকোণে থাকে বলে একে আয়তাকার কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক বলা হয়।

$(x, y)$ একটি ক্রমজোড়: প্রথমে ভুজ, পরে কোটি। তাই $x \neq y$ হলে $(x, y)$ আর $(y, x)$ দুটি আলাদা বিন্দু। যেমন $(2, 5)$ আর $(5, 2)$ এক জায়গা নয়।

চিহ্নের নিয়ম:

বিন্দু $y$ অক্ষের ডানে থাকলে ভুজ ধনাত্মক, বামে থাকলে ঋণাত্মক।
বিন্দু $x$ অক্ষের উপরে থাকলে কোটি ধনাত্মক, নিচে থাকলে ঋণাত্মক।
$x$ অক্ষের উপরের যেকোনো বিন্দুর কোটি $0$ , আর $y$ অক্ষের উপরের যেকোনো বিন্দুর ভুজ $0$ ।

অক্ষ দুইটি সমতলকে চারটি ভাগে ভাগ করে, প্রতিটিকে বলে চতুর্ভাগ। ঘড়ির কাঁটার উল্টো দিকে গুনে:

চতুর্ভাগ	ভুজ ও কোটির চিহ্ন
প্রথম	$(+, +)$
দ্বিতীয়	$(-, +)$
তৃতীয়	$(-, -)$
চতুর্থ	$(+, -)$

উদাহরণ: $(-3, 4)$ বিন্দু পেতে মূলবিন্দু থেকে বামে $3$ ঘর যাও, তারপর উপরে $4$ ঘর। ভুজ ঋণাত্মক ও কোটি ধনাত্মক, তাই বিন্দুটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে।

মনে রাখো: $(x, y)$ -এ ভুজ আগে, কোটি পরে; চিহ্ন দেখেই বোঝা যায় বিন্দুটি কোন চতুর্ভাগে।

২০২৬ সালের NCTB পাঠ্যবই অনুসরণ করে লেখা।

চালিয়ে দেখো

দুই গ্রামের মাঝে বাসস্টপ: রেখাংশের বিভাজন সূত্রচালিয়ে দেখো
একটি উপজেলায় পলাশপুর গ্রাম A(২, ১) এবং আনন্দপুর গ্রাম B(৮, ১৩) একটি সোজা রাস্তা দিয়ে যুক্ত (স্থানাঙ্কের একক কিলোমিটারে)। শুরুতে রাস্তাটির ঠিক মাঝে (১:১ অনুপাতে) একটি যাত্রীছাউনি ছিল, যার স্থানাঙ্ক মধ্যবিন্দু (৫, ৭)। কিন্তু আনন্দপুর গ্রামে জনবসতি বেশি হওয়ায় যাত্রীছাউনিটি সরিয়ে পলাশপুর থেকে আনন্দপুরের দিকে ২:১ অনুপাতে P বিন্দুতে নতুন করে স্থাপনের সিদ্ধান্ত হলো। নতুন যাত্রীছাউনি P এর স্থানাঙ্ক কত হবে?

অনুশীলনের প্রশ্ন

কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক সমতলে (Cartesian coordinate plane) $A(k, ৩)$ বিন্দুর মূলবিন্দু (origin) $O(০, ০)$ থেকে দূরত্ব ৫ একক এবং বিন্দুটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে (second quadrant) অবস্থিত হলে $k$ -এর মান কত?
1. ক
  ৪
2. খ
  -৪
3. গ
  -২
4. ঘ
  ১৬
উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর:
খ) -৪
1. মূলবিন্দু $O(০, ০)$ থেকে যেকোনো বিন্দু $A(k, ৩)$ -এর দূরত্বের সূত্র হলো $OA = \sqrt{k^2 + ৩^2}$ ।
$OA = \sqrt{k^2 + 3^2} = 5$
1. উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই: $k^2 + ৯ = ২৫ \implies k^2 = ২৫ - ৯ = ১৬ \implies k = \pm ৪$ ।
$k^2 + 9 = 25 \implies k^2 = 16 \implies k = \pm 4$
1. যেহেতু $A(k, ৩)$ বিন্দুটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত, তাই এর ভুজ ঋণাত্মক ( $k < ০$ ) হবে। সুতরাং $k = -৪$ ।
$k < 0 \implies k = -4$
বগুড়ার একটি কৃষি গবেষণা খামারের ত্রিভুজাকার জমির তিনটি কোণার স্থানাঙ্ক যথাক্রমে $A(১০, ২০)$ , $B(৫০, ৪০)$ এবং $C(৩০, ৮০)$ , যেখানে প্রতিটি একক ১ মিটার (m)। জমিটির $A$ কোণা থেকে বিপরীত সীমানা $BC$ -এর মধ্যবিন্দু $D$ পর্যন্ত একটি পানির নালার সরাসরি সরলরৈখিক দৈর্ঘ্য কত মিটার?
উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর:
৫০ m
1. $B(৫০, ৪০)$ এবং $C(৩০, ৮০)$ বিন্দুদ্বয়ের সংযোগকারী রেখাংশের মধ্যবিন্দু $D$ -এর স্থানাঙ্ক: $D\left(\frac{x_1 + x_2}{২}, \frac{y_1 + y_2}{২}\right)$ ।
$D = \left(\frac{50 + 30}{2}, \frac{40 + 80}{2}\right) = (40, 60)$
1. মান হিসাব করে পাই: $x_D = \frac{৮০}{২} = ৪০$ এবং $y_D = \frac{১২০}{২} = ৬০$ , অর্থাৎ মধ্যবিন্দু $D(৪০, ৬০)$ ।
2. এখন $A(১০, ২০)$ এবং $D(৪০, ৬০)$ বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব: $AD = \sqrt{(৪০ - ১০)^২ + (৬০ - ২০)^২}$ ।
$AD = \sqrt{(40 - 10)^2 + (60 - 20)^2} = \sqrt{30^2 + 40^2}$
1. $AD = \sqrt{৯০০ + ১৬০০} = \sqrt{২৫০০} = ৫০\text{ m}$ ।
$AD = \sqrt{2500} = 50\text{ m}$
তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত কোনো বিন্দুর ভুজ ও কোটের চিহ্ন যথাক্রমে কোনটি?
1. ক
  ধনাত্মক, ধনাত্মক
2. খ
  ঋণাত্মক, ধনাত্মক
3. গ
  ধনাত্মক, ঋণাত্মক
4. ঘ
  ঋণাত্মক, ঋণাত্মক
উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর:
ঘ) ঋণাত্মক, ঋণাত্মক
1. তৃতীয় চতুর্ভাগে ভুজ ও কোট উভয়ই ঋণাত্মক।
$x<0,\quad y<0$

এই টপিক নিয়ে প্রশ্ন আছে?

মেন্টরকে বাংলায় বা ইংরেজিতে জিজ্ঞেস করো, বা খাতার ছবি দাও। সিমুলেশন চালিয়ে বুঝিয়ে দেবে।

মেন্টরকে জিজ্ঞেস করো