offSchoolবেটা

উচ্চতর গণিত · অধ্যায় ১১ · টপিক ২

দুইটি বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব

চালিয়ে দেখো এই অধ্যায় অনুশীলন করো

পড়ার নোট

ধরো সমতলে দুইটি বিন্দু P(x1,y1)P(x_1, y_1) ও Q(x2,y2)Q(x_2, y_2) আছে। PP থেকে QQ-এর উপর পড়া লম্ব ও PQPQ নিয়ে একটি সমকোণী ত্রিভুজ পাওয়া যায়। এর অনুভূমিক বাহুর দৈর্ঘ্য x2−x1x_2 - x_1 এবং উল্লম্ব বাহুর দৈর্ঘ্য y2−y1y_2 - y_1। PQPQ হলো অতিভুজ, তাই পীথাগোরাসের উপপাদ্য থেকে পাই:

PQ=(x2−x1)2+(y2−y1)2PQ = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

এখানে (x1,y1)(x_1, y_1) ও (x2,y2)(x_2, y_2) বিন্দু দুইটির স্থানাঙ্ক, আর ফল একক-এ মাপা হয়। দূরত্ব কখনো ঋণাত্মক হয় না, তাই শুধু ধনাত্মক বর্গমূল নেওয়া হয়। বর্গ করা হয় বলে বিয়োগের ক্রম বদলালেও ফল একই থাকে, অর্থাৎ PQ=QPPQ = QP।

বিশেষ ক্ষেত্র: মূলবিন্দু (0,0)(0, 0) থেকে P(x,y)P(x, y)-এর দূরত্ব x2+y2\sqrt{x^2 + y^2}।

উদাহরণ: P(1,2)P(1, 2) ও Q(4,6)Q(4, 6) বিন্দুর দূরত্ব কত?

  • x2−x1=4−1=3x_2 - x_1 = 4 - 1 = 3 এবং y2−y1=6−2=4y_2 - y_1 = 6 - 2 = 4
  • PQ=32+42=9+16=25=5PQ = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 একক

দূরত্বের সূত্র দিয়ে আকৃতি চেনা: তিনটি বা চারটি বিন্দুর সব বাহুর দৈর্ঘ্য বের করে মিলিয়ে দেখলে আকৃতি বোঝা যায়।

  • দুই বাহু সমান হলে ত্রিভুজ সমদ্বিবাহু; তিন বাহু সমান হলে সমবাহু।
  • a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2 মিললে ত্রিভুজ সমকোণী (পীথাগোরাসের বিপরীত উপপাদ্য)।
  • তিন বিন্দুতে দুই বাহুর যোগফল তৃতীয় বাহুর সমান হলে বিন্দু তিনটি একই সরলরেখায়, ত্রিভুজ হয় না। যেমন (−3,−3)(-3,-3), (0,0)(0,0), (3,3)(3,3) বিন্দুতে 32+32=623\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2}।
  • চার বিন্দুতে বিপরীত বাহু সমান হলে সামান্তরিক; আবার কর্ণ দুটিও সমান হলে আয়তক্ষেত্র। চার বাহু সমান হলে রম্বস, আর কর্ণও সমান হলে বর্গ।

মনে রাখো: দুই বিন্দুর দূরত্ব (x2−x1)2+(y2−y1)2\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}; এটি পীথাগোরাসের উপপাদ্য থেকেই এসেছে।

২০২৬ সালের NCTB পাঠ্যবই অনুসরণ করে লেখা।

চালিয়ে দেখো

  • দুই গ্রামের মাঝে বাসস্টপ: রেখাংশের বিভাজন সূত্রচালিয়ে দেখো

    একটি উপজেলায় পলাশপুর গ্রাম A(২, ১) এবং আনন্দপুর গ্রাম B(৮, ১৩) একটি সোজা রাস্তা দিয়ে যুক্ত (স্থানাঙ্কের একক কিলোমিটারে)। শুরুতে রাস্তাটির ঠিক মাঝে (১:১ অনুপাতে) একটি যাত্রীছাউনি ছিল, যার স্থানাঙ্ক মধ্যবিন্দু (৫, ৭)। কিন্তু আনন্দপুর গ্রামে জনবসতি বেশি হওয়ায় যাত্রীছাউনিটি সরিয়ে পলাশপুর থেকে আনন্দপুরের দিকে ২:১ অনুপাতে P বিন্দুতে নতুন করে স্থাপনের সিদ্ধান্ত হলো। নতুন যাত্রীছাউনি P এর স্থানাঙ্ক কত হবে?

অনুশীলনের প্রশ্ন

  1. কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক সমতলে (Cartesian coordinate plane) A(k,৩)A(k, ৩) বিন্দুর মূলবিন্দু (origin) O(০,০)O(০, ০) থেকে দূরত্ব ৫ একক এবং বিন্দুটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে (second quadrant) অবস্থিত হলে kk-এর মান কত?

    1. ক

      ৪

    2. খ

      -৪

    3. গ

      -২

    4. ঘ

      ১৬

    উত্তর ও ব্যাখ্যা
    সঠিক উত্তর:

    খ) -৪

    1. মূলবিন্দু O(০,০)O(০, ০) থেকে যেকোনো বিন্দু A(k,৩)A(k, ৩)-এর দূরত্বের সূত্র হলো OA=k2+৩2OA = \sqrt{k^2 + ৩^2}।
    OA=k2+32=5OA = \sqrt{k^2 + 3^2} = 5
    1. উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই: k2+৯=২৫  ⟹  k2=২৫−৯=১৬  ⟹  k=±৪k^2 + ৯ = ২৫ \implies k^2 = ২৫ - ৯ = ১৬ \implies k = \pm ৪।
    k2+9=25  ⟹  k2=16  ⟹  k=±4k^2 + 9 = 25 \implies k^2 = 16 \implies k = \pm 4
    1. যেহেতু A(k,৩)A(k, ৩) বিন্দুটি দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত, তাই এর ভুজ ঋণাত্মক (k<০k < ০) হবে। সুতরাং k=−৪k = -৪।
    k<0  ⟹  k=−4k < 0 \implies k = -4

  2. পদ্মা নদীর চরে অবস্থিত একটি কৃষি প্রদর্শন খামারের মানচিত্রে দুটি সেচ পয়েন্ট P(২০,৩০)P(২০, ৩০) এবং Q(৮০,১১০)Q(৮০, ১১০) বিন্দুতে অবস্থিত, যেখানে প্রতিটি স্থানাঙ্ক এককের মান ১ মিটার (m)। PP ও QQ পয়েন্ট দুটির মধ্যবর্তী সরাসরি সরলরৈখিক দূরত্ব কত মিটার?

    উত্তর ও ব্যাখ্যা
    সঠিক উত্তর:

    ১০০ m

    1. সমতলে দুটি বিন্দু (x1,y1)(x_1, y_1) এবং (x2,y2)(x_2, y_2)-এর মধ্যবর্তী দূরত্বের সূত্র: d=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}।
    2. P(২০,৩০)P(২০, ৩০) এবং Q(৮০,১১০)Q(৮০, ১১০) বিন্দুর জন্য স্থানাঙ্কের পার্থক্য: x2−x1=৮০−২০=৬০ mx_2 - x_1 = ৮০ - ২০ = ৬০\text{ m} এবং y2−y1=১১০−৩০=৮০ my_2 - y_1 = ১১০ - ৩০ = ৮০\text{ m}।
    Δx=80−20=60,Δy=110−30=80\Delta x = 80 - 20 = 60, \quad \Delta y = 110 - 30 = 80
    1. দূরত্ব সূত্রে মান বসিয়ে পাই: d=৬০২+৮০২=৩৬০০+৬৪০০=১০০০০=১০০ md = \sqrt{৬০^২ + ৮০^২} = \sqrt{৩৬০০ + ৬৪০০} = \sqrt{১০০০০} = ১০০\text{ m}।
    d=602+802=10000=100 md = \sqrt{60^2 + 80^2} = \sqrt{10000} = 100\text{ m}

  3. বগুড়ার একটি কৃষি গবেষণা খামারের ত্রিভুজাকার জমির তিনটি কোণার স্থানাঙ্ক যথাক্রমে A(১০,২০)A(১০, ২০), B(৫০,৪০)B(৫০, ৪০) এবং C(৩০,৮০)C(৩০, ৮০), যেখানে প্রতিটি একক ১ মিটার (m)। জমিটির AA কোণা থেকে বিপরীত সীমানা BCBC-এর মধ্যবিন্দু DD পর্যন্ত একটি পানির নালার সরাসরি সরলরৈখিক দৈর্ঘ্য কত মিটার?

    উত্তর ও ব্যাখ্যা
    সঠিক উত্তর:

    ৫০ m

    1. B(৫০,৪০)B(৫০, ৪০) এবং C(৩০,৮০)C(৩০, ৮০) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগকারী রেখাংশের মধ্যবিন্দু DD-এর স্থানাঙ্ক: D(x1+x2২,y1+y2২)D\left(\frac{x_1 + x_2}{২}, \frac{y_1 + y_2}{২}\right)।
    D=(50+302,40+802)=(40,60)D = \left(\frac{50 + 30}{2}, \frac{40 + 80}{2}\right) = (40, 60)
    1. মান হিসাব করে পাই: xD=৮০২=৪০x_D = \frac{৮০}{২} = ৪০ এবং yD=১২০২=৬০y_D = \frac{১২০}{২} = ৬০, অর্থাৎ মধ্যবিন্দু D(৪০,৬০)D(৪০, ৬০)।
    2. এখন A(১০,২০)A(১০, ২০) এবং D(৪০,৬০)D(৪০, ৬০) বিন্দুর মধ্যবর্তী দূরত্ব: AD=(৪০−১০)২+(৬০−২০)২AD = \sqrt{(৪০ - ১০)^২ + (৬০ - ২০)^২}।
    AD=(40−10)2+(60−20)2=302+402AD = \sqrt{(40 - 10)^2 + (60 - 20)^2} = \sqrt{30^2 + 40^2}
    1. AD=৯০০+১৬০০=২৫০০=৫০ mAD = \sqrt{৯০০ + ১৬০০} = \sqrt{২৫০০} = ৫০\text{ m}।
    AD=2500=50 mAD = \sqrt{2500} = 50\text{ m}

এই টপিক নিয়ে প্রশ্ন আছে?

মেন্টরকে বাংলায় বা ইংরেজিতে জিজ্ঞেস করো, বা খাতার ছবি দাও। সিমুলেশন চালিয়ে বুঝিয়ে দেবে।

মেন্টরকে জিজ্ঞেস করো