সরলরেখার ঢাল ও সমীকরণ

অনুশীলনের প্রশ্ন

1. ১

   $A(২, p)$ এবং $B(-১, ৫)$ বিন্দুগামী একটি সরলরেখা $x$-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে $৪৫^\circ$ কোণ উৎপন্ন করে। $p$-এর মান কত?

   1. ক

      ২

   2. খ

      ৮

   3. গ

      -২

   4. ঘ

      ৫

   উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর:

   খ) ৮

   1. $x$-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে $৪৫^\circ$ কোণ উৎপন্ন করায় রেখাটির ঢাল $m = \tan ৪৫^\circ = ১$।

   $$m = \tan 45^\circ = 1$$

   2. দুইটি বিন্দুগামী সরলরেখার ঢালের সূত্র অনুসারে: $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{৫ - p}{-১ - ২} = \frac{৫ - p}{-৩}$।

   $$m = \frac{5 - p}{-1 - 2} = \frac{5 - p}{-3}$$

   3. শর্তমতে $\frac{৫ - p}{-৩} = ১ \implies ৫ - p = -৩ \implies p = ৫ + ৩ = ৮$।

   $$\frac{5 - p}{-3} = 1 \implies 5 - p = -3 \implies p = 8$$
2. ২

   $৩x + ৪y - ২৪ = ০$ সরলরেখাটি স্থানাঙ্কের অক্ষদ্বয়কে $A$ ও $B$ বিন্দুতে ছেদ করে। মূলবিন্দু $O$ হলে $\triangle OAB$-এর ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?

   1. ক

      ১২

   2. খ

      ২৪

   3. গ

      ৪৮

   4. ঘ

      ১৪

   উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর:

   খ) ২৪

   1. $x$-অক্ষকে ছেদ করার বিন্দুতে $y = ০$ বসিয়ে পাই: $৩x - ২৪ = ০ \implies ৩x = ২৪ \implies x = ৮$। অতএব $A$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(৮, ০)$ এবং $OA = ৮$ একক।

   $$y = 0 \implies 3x = 24 \implies x = 8 \implies A(8, 0)$$

   2. $y$-অক্ষকে ছেদ করার বিন্দুতে $x = ০$ বসিয়ে পাই: $৪y - ২৪ = ০ \implies ৪y = ২৪ \implies y = ৬$। অতএব $B$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(০, ৬)$ এবং $OB = ৬$ একক।

   $$x = 0 \implies 4y = 24 \implies y = 6 \implies B(0, 6)$$

   3. যেহেতু স্থানাঙ্কের অক্ষদ্বয় মূলবিন্দু $O(০, ০)$-এ পরস্পরের ওপর লম্ব, তাই $\triangle OAB$ একটি সমকোণী ত্রিভুজ।
   4. সুতরাং $\triangle OAB$-এর ক্ষেত্রফল $= \frac{১}{২} \times \text{ভূমি} \times \text{উচ্চতা} = \frac{১}{২} \times OA \times OB = \frac{১}{২} \times ৮ \times ৬ = ২৪$ বর্গ একক।

   $$\text{Area} = \frac{1}{2} \times 8 \times 6 = 24$$
3. ৩

   কার্তেসীয় সমতলে $y$-অক্ষের সমান্তরাল কোনো সরলরেখার ঢাল অসংজ্ঞায়িত হয় কেন? কারণসহ ব্যাখ্যা করো।

   উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর:

   $y$-অক্ষের সমান্তরাল কোনো সরলরেখা $x$-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে $৯০^\circ$ কোণ তৈরি করে এবং $\tan ৯০^\circ$-এর মান অসংজ্ঞায়িত (undefined)। তাছাড়া রেখাটির ওপর যেকোনো দুটি বিন্দুর ভুজ (abscissa) একই হওয়ায় ঢাল নির্ণয়ের সূত্রে হর $(x_2 - x_1) = ০$ হয়। যেহেতু শূন্য দ্বারা ভাগ অসংজ্ঞায়িত, তাই $y$-অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখার কোনো সংজ্ঞায়িত ঢাল থাকে না।

   1. সরলরেখার ঢালের সংজ্ঞা হলো $m = \tan\theta$, যেখানে $\theta$ রেখাটি কর্তৃক $x$-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে উৎপন্ন কোণ।
   2. যেহেতু রেখাটি $y$-অক্ষের সমান্তরাল, এটি $x$-অক্ষের ওপর লম্ব, ফলে $\theta = ৯০^\circ$ এবং $\tan ৯০^\circ$ অসংজ্ঞায়িত।

   $$\theta = 90^\circ \implies m = \tan 90^\circ = \text{undefined}$$

   3. বিন্দুভিত্তিক ঢালের সূত্র $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$-এ রেখার সকল বিন্দুর $x$-স্থানাঙ্ক একই হওয়ায় $x_2 - x_1 = ০$, ফলে শূন্য দিয়ে ভাগের কারণে ঢাল অসংজ্ঞায়িত হয়।

   $$x_1 = x_2 \implies x_2 - x_1 = 0 \implies m = \frac{y_2 - y_1}{0}$$