ত্রিভুজ ও চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল

ত্রিভুজক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল বের করার দুইটি পদ্ধতি আছে।

পদ্ধতি ১: বাহুর দৈর্ঘ্য দিয়ে

আগে দূরত্বের সূত্র দিয়ে তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য $a$, $b$, $c$ বের করো। পরিসীমা $2s = a + b + c$, অর্থাৎ $s$ হলো পরিসীমার অর্ধেক। তখন

$$\text{ক্ষেত্রফল} = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} \text{ বর্গ একক}$$

জমির কোণাগুলোর স্থানাঙ্ক জানা না থাকলেও বাহু মেপে এই পদ্ধতিতে ক্ষেত্রফল পাওয়া যায়, তাই বাস্তবে এটি খুব কাজের।

উদাহরণ: $A(0, 0)$, $B(4, 0)$, $C(0, 3)$।

• $AB = 4$, $AC = 3$, $BC = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$
• $s = \dfrac{4 + 3 + 5}{2} = 6$
• ক্ষেত্রফল $= \sqrt{6 \times 2 \times 3 \times 1} = \sqrt{36} = 6$ বর্গ একক

চতুর্ভুজকে একটি কর্ণ দিয়ে দুইটি ত্রিভুজে ভাগ করে দুই ক্ষেত্রফল যোগ করলে চতুর্ভুজক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল পাওয়া যায়।

পদ্ধতি ২: শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক দিয়ে

$A(x_1, y_1)$, $B(x_2, y_2)$, $C(x_3, y_3)$ শীর্ষ ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে সাজানো হলে

$$\text{ক্ষেত্রফল} = \frac{1}{2}\left(x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_1 - x_2y_1 - x_3y_2 - x_1y_3\right) \text{ বর্গ একক}$$

মনে রাখার উপায়: $x$ ও $y$ সারি লেখো এবং প্রথম বিন্দু শেষে আবার লেখো। $x$ সারি উপরে ও $y$ সারি নিচে থাকলে উপর থেকে নিচে ডান দিকে ক্রস গুণফল ($x_1y_2$, $x_2y_3$, $x_3y_1$) যোগ করো, আর উল্টো দিকের ক্রস গুণফলগুলো বিয়োগ করো। বিন্দুর ক্রম ঠিক না থাকলে ফল ঋণাত্মক আসতে পারে, তখন পরম মান নাও।

উদাহরণ: $A(1, 1)$, $B(5, 2)$, $C(3, 6)$।

• যোগ: $1 \cdot 2 + 5 \cdot 6 + 3 \cdot 1 = 2 + 30 + 3 = 35$
• বিয়োগ: $5 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 1 \cdot 6 = 5 + 6 + 6 = 17$
• ক্ষেত্রফল $= \dfrac{1}{2}(35 - 17) = 9$ বর্গ একক

চতুর্ভুজ: $A, B, C, D$ ঘড়ির কাঁটার বিপরীত ক্রমে থাকলে

$$\text{ক্ষেত্রফল} = \frac{1}{2}\left(x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_4 + x_4y_1 - x_2y_1 - x_3y_2 - x_4y_3 - x_1y_4\right)$$

পঞ্চভুজ বা অন্য বহুভুজেও একই নিয়ম চলে। উদাহরণ: $(0,0)$, $(4,0)$, $(4,3)$, $(0,3)$। যোগ: $0 + 12 + 12 + 0 = 24$; বিয়োগ: $0$। ক্ষেত্রফল $= \dfrac{24}{2} = 12$ বর্গ একক, যা $4 \times 3$-এর সমান।

মনে রাখো: বাহুর দৈর্ঘ্য জানা থাকলে $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$, শীর্ষের স্থানাঙ্ক জানা থাকলে ক্রস গুণফলের সূত্র; চতুর্ভুজকে ভেঙে দুই ত্রিভুজ করা যায়।