৩x + ৪y - ২৪ = ০ সরলরেখাটি স্থানাঙ্কের অক্ষদ্বয়কে A ও B বিন্দুতে ছেদ করে। মূলবিন্দু O হলে △ OAB-এর ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?

সঠিক উত্তর: খ) ২৪। x-অক্ষকে ছেদ করার বিন্দুতে y = ০ বসিয়ে পাই: ৩x - ২৪ = ০ ⇒ ৩x = ২৪ ⇒ x = ৮। অতএব A বিন্দুর স্থানাঙ্ক (৮, ০) এবং OA = ৮ একক। y-অক্ষকে ছেদ করার বিন্দুতে x = ০ বসিয়ে পাই: ৪y - ২৪ = ০ ⇒ ৪y = ২৪ ⇒ y = ৬। অতএব B বিন্দুর স্থানাঙ্ক (০, ৬) এবং OB = ৬ একক। যেহেতু স্থানাঙ্কের অক্ষদ্বয় মূলবিন্দু O(০, ০)-এ পরস্পরের ওপর লম্ব, তাই △ OAB একটি সমকোণী ত্রিভুজ। সুতরাং △ OAB-এর ক্ষেত্রফল = ১/২ × ভূমি × উচ্চতা = ১/২ × OA × OB = ১/২ × ৮ × ৬ = ২৪ বর্গ একক।

y=4 সরলরেখার লেখচিত্র সম্পর্কে— i. এটি x-অক্ষের সমান্তরাল। ii. এর ঢাল শূন্য। iii. এটি মূলবিন্দুগামী। নিচের কোনটি সঠিক?

সঠিক উত্তর: গ) i ও ii। রেখাটির সব বিন্দুর কোট সমান। তাই রেখাটি x-অক্ষের সমান্তরাল এবং এর ঢাল শূন্য। মূলবিন্দুর কোট শূন্য, তাই মূলবিন্দু y=4 রেখায় অবস্থিত নয়। সুতরাং i ও ii সঠিক।

উচ্চতর গণিত · অধ্যায় ১১ · টপিক ৬

সরলরেখার লেখচিত্র

চালিয়ে দেখো এই অধ্যায় অনুশীলন করো

পড়ার নোট

$x$ ও $y$ -এর একঘাত সমীকরণ সবসময় একটি সরলরেখা। রেখা আঁকতে মাত্র দুইটি বিন্দু দরকার। সবচেয়ে সহজ দুইটি বিন্দু হলো অক্ষ দুটির ছেদবিন্দু।

আঁকার ধাপ:

সমীকরণকে $y = mx + c$ আকারে লেখো; তখন ঢাল $m$ ও $y$ অক্ষের ছেদক $c$ পাওয়া যায়।
$x = 0$ বসিয়ে $y$ অক্ষের ছেদবিন্দু $(0, c)$ বের করো।
$y = 0$ বসিয়ে $x$ অক্ষের ছেদবিন্দু বের করো।
বিন্দু দুটি কার্তেসীয় তলে বসাও এবং স্কেল দিয়ে সরলরেখা টানো, দুই দিকে একটু বাড়িয়ে।
নিশ্চিত হতে তৃতীয় একটি বিন্দু বসিয়ে মিলিয়ে দেখো।

উদাহরণ: $y - 2x + 4 = 0$ রেখা আঁকো।

$y = 2x - 4$ , তাই $m = 2$ ও $c = -4$ ।
$x = 0$ হলে $y = -4$ , বিন্দু $(0, -4)$ ।
$y = 0$ হলে $0 = 2x - 4$ , তাই $x = 2$ ; বিন্দু $(2, 0)$ ।
$(2, 0)$ ও $(0, -4)$ বিন্দু দুটি যোগ করলেই রেখা হয়। যাচাই: $x = 3$ বসালে $y = 2$ , আর $(3, 2)$ বিন্দুটি রেখার উপরেই পড়ে।

রেখা দেখে ঢাল ও ছেদক বোঝা:

$m > 0$ হলে রেখা বাম থেকে ডানে উঠে যায়, $m < 0$ হলে নেমে যায়।
$c > 0$ হলে রেখা $y$ অক্ষকে মূলবিন্দুর উপরে কাটে, $c < 0$ হলে নিচে।
$y = mx$ রেখা মূলবিন্দু দিয়ে যায়।
$x = a$ রেখা $y$ অক্ষের সমান্তরাল ( $a > 0$ হলে ডানে), $y = b$ রেখা $x$ অক্ষের সমান্তরাল ( $b > 0$ হলে উপরে)।

একই তলে দুইটি রেখা আঁকলে তাদের ছেদবিন্দুই দুই সমীকরণের সমাধান। রেখা দুটি সমান্তরাল হলে ছেদ করে না, তাই সমীকরণজোড়ার কোনো সমাধান নেই।

মনে রাখো: সরলরেখা আঁকতে অক্ষ দুটির ছেদবিন্দু বের করো, বিন্দু দুটি বসিয়ে যোগ করো; $m$ ও $c$ -এর চিহ্ন থেকে রেখার অবস্থান বোঝা যায়।

২০২৬ সালের NCTB পাঠ্যবই অনুসরণ করে লেখা।

চালিয়ে দেখো

ফ্লাইওভারের র‍্যাম্পের ঢাল ও সরলরেখার সমীকরণচালিয়ে দেখো
ঢাকায় মেয়র মোহাম্মদ হানিফ ফ্লাইওভারের একটি সংযোগ র‍্যাম্প নির্মাণের পরিকল্পনা করা হয়েছে। র‍্যাম্পটি সমতল ভূমিতে অবস্থিত মূলবিন্দু A(০, ০) থেকে শুরু হয়ে প্রতি ১০ m আনুভূমিক দূরত্বের জন্য ১ m ওপরে ওঠে এবং B(১০, ১) বিন্দুতে পৌঁছায়। এই র‍্যাম্পটির ঢাল (slope) এবং ভূমির সাথে এর আনতিকোণ (inclination) কত হবে?

অনুশীলনের প্রশ্ন

$৩x + ৪y - ২৪ = ০$ সরলরেখাটি স্থানাঙ্কের অক্ষদ্বয়কে $A$ ও $B$ বিন্দুতে ছেদ করে। মূলবিন্দু $O$ হলে $\triangle OAB$ -এর ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?
1. ক
  ১২
2. খ
  ২৪
3. গ
  ৪৮
4. ঘ
  ১৪
উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর:
খ) ২৪
1. $x$ -অক্ষকে ছেদ করার বিন্দুতে $y = ০$ বসিয়ে পাই: $৩x - ২৪ = ০ \implies ৩x = ২৪ \implies x = ৮$ । অতএব $A$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(৮, ০)$ এবং $OA = ৮$ একক।
$y = 0 \implies 3x = 24 \implies x = 8 \implies A(8, 0)$
1. $y$ -অক্ষকে ছেদ করার বিন্দুতে $x = ০$ বসিয়ে পাই: $৪y - ২৪ = ০ \implies ৪y = ২৪ \implies y = ৬$ । অতএব $B$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(০, ৬)$ এবং $OB = ৬$ একক।
$x = 0 \implies 4y = 24 \implies y = 6 \implies B(0, 6)$
1. যেহেতু স্থানাঙ্কের অক্ষদ্বয় মূলবিন্দু $O(০, ০)$ -এ পরস্পরের ওপর লম্ব, তাই $\triangle OAB$ একটি সমকোণী ত্রিভুজ।
2. সুতরাং $\triangle OAB$ -এর ক্ষেত্রফল $= \frac{১}{২} \times \text{ভূমি} \times \text{উচ্চতা} = \frac{১}{২} \times OA \times OB = \frac{১}{২} \times ৮ \times ৬ = ২৪$ বর্গ একক।
$\text{Area} = \frac{1}{2} \times 8 \times 6 = 24$
$y=4$ সরলরেখার লেখচিত্র সম্পর্কে— i. এটি $x$ -অক্ষের সমান্তরাল। ii. এর ঢাল শূন্য। iii. এটি মূলবিন্দুগামী। নিচের কোনটি সঠিক?
1. ক
  i ও iii
2. খ
  ii ও iii
3. গ
  i ও ii
4. ঘ
  i, ii ও iii
উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর:
গ) i ও ii
1. রেখাটির সব বিন্দুর কোট সমান। তাই রেখাটি $x$ -অক্ষের সমান্তরাল এবং এর ঢাল শূন্য।
2. মূলবিন্দুর কোট শূন্য, তাই মূলবিন্দু $y=4$ রেখায় অবস্থিত নয়। সুতরাং i ও ii সঠিক।

এই টপিক নিয়ে প্রশ্ন আছে?

মেন্টরকে বাংলায় বা ইংরেজিতে জিজ্ঞেস করো, বা খাতার ছবি দাও। সিমুলেশন চালিয়ে বুঝিয়ে দেবে।

মেন্টরকে জিজ্ঞেস করো