সূচকীয় ও লগারিদমীয় ফাংশন

$F(x) = \ln\left(\frac{1 + x}{1 - x}\right)$ বাস্তব হবে যদি ও কেবল যদি $\frac{1 + x}{1 - x} > 0$ এবং $1 - x \ne 0$ হয়। উভয় পক্ষে $(1 - x)^2 > 0$ দ্বারা গুণ করে পাই $(1 + x)(1 - x) > 0 \implies (x + 1)(x - 1) < 0$। এর সমাধান $-1 < x < 1$। অতএব ফাংশনটির ডোমেন $\text{Dom } F = \{x \in \mathbb{R} : -1 < x < 1\}$ বা $(-1, 1)$।

প্রদত্ত $P = a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}} + c^{\frac{1}{3}} = 0 \implies a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}} = -c^{\frac{1}{3}}$। উভয় পক্ষে ঘন করে পাই $(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})^3 = (-c^{\frac{1}{3}})^3 \implies (a^{\frac{1}{3}})^3 + (b^{\frac{1}{3}})^3 + 3 a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}) = -c \implies a + b + 3 a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}}(-c^{\frac{1}{3}}) = -c \implies a + b + c = 3 a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} c^{\frac{1}{3}}$। পুনরায় উভয় পক্ষে ঘন করে পাই $(a + b + c)^3 = (3 a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{3}} c^{\frac{1}{3}})^3 = 27abc$। (দেখানো হলো)

বামপক্ষ $= F\left(\frac{2x}{1 + x^2}\right) = \ln\left(\frac{1 + \frac{2x}{1 + x^2}}{1 - \frac{2x}{1 + x^2}}\right) = \ln\left(\frac{\frac{1 + x^2 + 2x}{1 + x^2}}{\frac{1 + x^2 - 2x}{1 + x^2}}\right) = \ln\left(\frac{(1 + x)^2}{(1 - x)^2}\right) = \ln\left(\left(\frac{1 + x}{1 - x}\right)^2\right)$। লগারিদমের ঘাত সূত্রানুসারে এটি $= 2 \ln\left(\frac{1 + x}{1 - x}\right) = 2F(x) =$ ডানপক্ষ। এবার $x = \frac{1}{3}$ বসালে পাই $F\left(\frac{1}{3}\right) = \ln\left(\frac{1 + 1/3}{1 - 1/3}\right) = \ln\left(\frac{4/3}{2/3}\right) = \ln 2$। অতএব নির্ণেয় মান $2F\left(\frac{1}{3}\right) = 2 \ln 2 = \ln 4$ (বা প্রায় ১.৩৮৬)।