কোনো বাস্তব সংখ্যার লগারিদম logₐ x সংজ্ঞায়িত হওয়ার জন্য ভিত্তি a এবং চলক x-এর জন্য নিচের কোন শর্তটি সঠিক?

সঠিক উত্তর: ক) a > 0, a ≠ 1 এবং x > 0। লগারিদমের সংজ্ঞানুসারে, যদি a^y = x হয় যেখানে a > 0 এবং a ≠ 1, তবে y = logₐ x। যেকোনো বাস্তব সূচক y-এর জন্য ধনাত্মক ভিত্তি a-এর ঘাত a^y সর্বদা ধনাত্মক হয় (অর্থাৎ a^y > 0), তাই আর্গুমেন্ট x > 0 হতে হবে। অতএব logₐ x সংজ্ঞায়িত হওয়ার প্রয়োজনীয় ও পর্যাপ্ত শর্ত হলো a > 0, a ≠ 1 এবং x > 0।

সাভারের একটি জৈবপ্রযুক্তি গবেষণাগারে তিন ধরনের অণুজীবের বৃদ্ধির অনুপাত নির্দেশক তিনটি চলক p, q, r > 0 এবং p, q, r ≠ 1। যদি pˣ = q, q^y = r এবং r^z = p হয়, তবে xyz-এর মান কত?

সঠিক উত্তর: খ) ১। প্রদত্ত সমীকরণগুলো হলো pˣ = q, q^y = r এবং r^z = p। তৃতীয় সমীকরণ r^z = p-এ r = q^y বসিয়ে পাই (q^y)^z = p ⇒ q^(yz) = p। এবার q = pˣ বসিয়ে পাই (pˣ)^(yz) = p ⇒ p^(xyz) = p¹। যেহেতু ভিত্তি p > 0 এবং p ≠ 1, উভয় পক্ষের সূচক তুলনা করে পাই xyz = ১।

বগুড়ার পল্লী উন্নয়ন একাডেমির (RDA) একটি প্রদর্শনীতে সংখ্যার স্কেলিং সম্পর্কিত একটি সমীকরণ উপস্থাপন করা হলো: logₓ 324 = 4। এখানে ভিত্তি x-এর মান কত?

সঠিক উত্তর: ক) 3√2। লগারিদমের সংজ্ঞানুসারে logₓ 324 = 4 ⇒ x⁴ = 324। ৩২৪-কে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই 324 = 2² × 3⁴ = (√2)⁴ × 3⁴ = (3√2)⁴। অতএব x⁴ = (3√2)⁴ ⇒ x = 3√2 (যেহেতু ভিত্তি x > 0 এবং x ≠ 1)।

উচ্চতর গণিত · অধ্যায় ৯ · টপিক ৩

লগারিদম

y = aˣ হলে x = logₐ y
লগারিদমের সূত্রাবলি

চালিয়ে দেখো এই অধ্যায় অনুশীলন করো

পড়ার নোট

লগারিদম হলো সূচকের বিপরীত প্রক্রিয়া। $a^x = b$ হলে, যেখানে $a > 0$ , $a \neq 1$ এবং $b > 0$ , $x$ কে $b$ এর $a$ ভিত্তিক লগারিদম বলা হয় এবং লেখা হয় $x = \log_a b$ । উল্টো দিকেও সত্য: $x = \log_a b$ হলে $a^x = b$ । তখন $b$ কে $a$ এর সাপেক্ষে $x$ এর প্রতিলগ (antilogarithm) বলে, লেখা হয় $b = \operatorname{antilog}_a x$ ।

যেমন $2^6 = 64$ থেকে $\log_2 64 = 6$ । আবার $8^2 = 64$ থেকে $\log_8 64 = 2$ । অর্থাৎ ভিত্তি বদলালে একই সংখ্যার লগারিদম বদলে যায়। ধনাত্মক ও $1$ নয় এমন যেকোনো সংখ্যা ভিত্তি হতে পারে। শূন্য বা ঋণাত্মক সংখ্যার লগারিদম নির্ণয় করা যায় না।

দুটি গুরুত্বপূর্ণ ফল:

$\log_a (a^x) = x$
$a^{\log_a b} = b$

লগারিদমের সূত্রাবলি

$M, N > 0$ হলে:

১. $\log_a a = 1$ এবং $\log_a 1 = 0$ ২. $\log_a (M \times N) = \log_a M + \log_a N$ ৩. $\log_a \dfrac{M}{N} = \log_a M - \log_a N$ ৪. $\log_a (M^N) = N \log_a M$ ৫. $\log_a M = \log_b M \times \log_a b$ (ভিত্তি পরিবর্তনের সূত্র)

ভিত্তি পরিবর্তনের সূত্রের প্রমাণ: ধরি $\log_b M = x$ এবং $\log_a b = y$ । তাহলে $M = b^x$ ও $b = a^y$ , ফলে $M = a^{xy}$ এবং $\log_a M = xy$ ।

$\log_a b$ দিয়ে ভাগ করলে ক্যালকুলেটরে ব্যবহারের রূপটি পাই: $\log_b M = \dfrac{\log_a M}{\log_a b}$ ।

আরও তথ্য: $x, y > 0$ হলে $x = y$ হবে যদি এবং কেবল যদি $\log_a x = \log_a y$ হয়। $a > 1$ হলে $x > 1$ এর জন্য $\log_a x > 0$ এবং $0 < x < 1$ এর জন্য $\log_a x < 0$ ।

উদাহরণ। $\log_3 (x+1) + \log_3 2 = 3$ হলে $x$ এর মান কত?

১. যোগ করে লিখি: $\log_3 \big(2(x+1)\big) = 3$ । ২. সূচকে রূপান্তর: $2(x+1) = 3^3 = 27$ । ৩. $x + 1 = 13.5$ , সুতরাং $x = 12.5$ ।

যাচাই: $\log_3 (13.5 \times 2) = \log_3 27 = 3$ । ঠিক আছে।

মনে রাখো: $\log_a b = x$ আর $a^x = b$ একই কথা, তাই যেকোনো লগারিদমের সমস্যাকে সূচকের সমস্যায় বদলে নেওয়া যায়।

২০২৬ সালের NCTB পাঠ্যবই অনুসরণ করে লেখা।

চালিয়ে দেখো

দইয়ের ব্যাকটেরিয়া বৃদ্ধি ও লগারিদমচালিয়ে দেখো
দই তৈরির জন্য হালকা গরম দুধে ১টি ল্যাকটিক অ্যাসিড ব্যাকটেরিয়া যোগ করা হলো। অনুকূল পরিবেশে প্রতি ধাপে (প্রজন্মে) ব্যাকটেরিয়ার সংখ্যা দ্বিগুণ হয়: ১ম ধাপে ২টি, ২য় ধাপে ৪টি, ৩য় ধাপে ৮টি (২³ = ৮)। ব্যাকটেরিয়ার সংখ্যা ১০০০ অতিক্রম করতে কমপক্ষে কতবার দ্বিগুণ (কতটি ধাপ) হতে হবে?

অনুশীলনের প্রশ্ন

কোনো বাস্তব সংখ্যার লগারিদম $\log_a x$ সংজ্ঞায়িত হওয়ার জন্য ভিত্তি $a$ এবং চলক $x$ -এর জন্য নিচের কোন শর্তটি সঠিক?
1. ক
  $a > 0, a \ne 1$ এবং $x > 0$
2. খ
  $a \ge 0$ এবং $x > 0$
3. গ
  $a > 0, a \ne 1$ এবং $x \ge 0$
4. ঘ
  $a > 1$ এবং $x$ যেকোনো বাস্তব সংখ্যা
উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর:
ক) $a > 0, a \ne 1$ এবং $x > 0$
1. লগারিদমের সংজ্ঞানুসারে, যদি $a^y = x$ হয় যেখানে $a > 0$ এবং $a \ne 1$ , তবে $y = \log_a x$ ।
$a^y = x \iff y = \log_a x \quad (a > 0, a \ne 1, x > 0)$
1. যেকোনো বাস্তব সূচক $y$ -এর জন্য ধনাত্মক ভিত্তি $a$ -এর ঘাত $a^y$ সর্বদা ধনাত্মক হয় (অর্থাৎ $a^y > 0$ ), তাই আর্গুমেন্ট $x > 0$ হতে হবে।
2. অতএব $\log_a x$ সংজ্ঞায়িত হওয়ার প্রয়োজনীয় ও পর্যাপ্ত শর্ত হলো $a > 0, a \ne 1$ এবং $x > 0$ ।
সাভারের একটি জৈবপ্রযুক্তি গবেষণাগারে তিন ধরনের অণুজীবের বৃদ্ধির অনুপাত নির্দেশক তিনটি চলক $p, q, r > 0$ এবং $p, q, r \ne 1$ । যদি $p^x = q$ , $q^y = r$ এবং $r^z = p$ হয়, তবে $xyz$ -এর মান কত?
1. ক
  ০
2. খ
  ১
3. গ
  $pqr$
4. ঘ
  ৩
উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর:
খ) ১
1. প্রদত্ত সমীকরণগুলো হলো $p^x = q$ , $q^y = r$ এবং $r^z = p$ ।
$p^x = q, \quad q^y = r, \quad r^z = p$
1. তৃতীয় সমীকরণ $r^z = p$ -এ $r = q^y$ বসিয়ে পাই $(q^y)^z = p \implies q^{yz} = p$ ।
2. এবার $q = p^x$ বসিয়ে পাই $(p^x)^{yz} = p \implies p^{xyz} = p^1$ ।
$(p^x)^{yz} = p^1 \implies p^{xyz} = p^1$
1. যেহেতু ভিত্তি $p > 0$ এবং $p \ne 1$ , উভয় পক্ষের সূচক তুলনা করে পাই $xyz = ১$ ।
$xyz = 1$
বগুড়ার পল্লী উন্নয়ন একাডেমির (RDA) একটি প্রদর্শনীতে সংখ্যার স্কেলিং সম্পর্কিত একটি সমীকরণ উপস্থাপন করা হলো: $\log_x 324 = 4$ । এখানে ভিত্তি $x$ -এর মান কত?
1. ক
  $3\sqrt{2}$
2. খ
  ১৮
3. গ
  $2\sqrt{3}$
4. ঘ
  ৮১
উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর:
ক) $3\sqrt{2}$
1. লগারিদমের সংজ্ঞানুসারে $\log_x 324 = 4 \implies x^4 = 324$ ।
2. $৩২৪$ -কে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই $324 = 2^2 \times 3^4 = (\sqrt{2})^4 \times 3^4 = (3\sqrt{2})^4$ ।
$324 = 4 \times 81 = (\sqrt{2})^4 \times 3^4 = (3\sqrt{2})^4$
1. অতএব $x^4 = (3\sqrt{2})^4 \implies x = 3\sqrt{2}$ (যেহেতু ভিত্তি $x > 0$ এবং $x \ne 1$ )।

এই টপিক নিয়ে প্রশ্ন আছে?

মেন্টরকে বাংলায় বা ইংরেজিতে জিজ্ঞেস করো, বা খাতার ছবি দাও। সিমুলেশন চালিয়ে বুঝিয়ে দেবে।

মেন্টরকে জিজ্ঞেস করো