সূচকীয়, লগারিদমীয় ও পরমমান ফাংশন

অনুশীলনের প্রশ্ন

1. ১

   বগুড়ার পল্লী উন্নয়ন একাডেমির (RDA) একটি প্রদর্শনীতে সংখ্যার স্কেলিং সম্পর্কিত একটি সমীকরণ উপস্থাপন করা হলো: $\log_x 324 = 4$। এখানে ভিত্তি $x$-এর মান কত?

   1. ক

      $3\sqrt{2}$

   2. খ

      ১৮

   3. গ

      $2\sqrt{3}$

   4. ঘ

      ৮১

   উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর:

   ক) $3\sqrt{2}$

   1. লগারিদমের সংজ্ঞানুসারে $\log_x 324 = 4 \implies x^4 = 324$।
   2. $৩২৪$-কে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই $324 = 2^2 \times 3^4 = (\sqrt{2})^4 \times 3^4 = (3\sqrt{2})^4$।

   $$324 = 4 \times 81 = (\sqrt{2})^4 \times 3^4 = (3\sqrt{2})^4$$

   3. অতএব $x^4 = (3\sqrt{2})^4 \implies x = 3\sqrt{2}$ (যেহেতু ভিত্তি $x > 0$ এবং $x \ne 1$)।
2. ২

   বগুড়ার ঐতিহ্যবাহী দই তৈরির সময় হালকা গরম দুধে ল্যাকটিক অ্যাসিড ব্যাকটেরিয়া যোগ করা হলো। অনুকূল পরিবেশে ব্যাকটেরিয়ার সংখ্যা $N(t) = 2^t$ সূচকীয় ফাংশন অনুযায়ী বৃদ্ধি পায়, যেখানে $t$ হলো বিভাজন চক্রের সংখ্যা (প্রতি চক্রে সংখ্যা দ্বিগুণ হয়)। ব্যাকটেরিয়ার সংখ্যা প্রথমবার ১০০০ অতিক্রম করতে কমপক্ষে কতটি বিভাজন চক্র ($t$) সম্পন্ন হতে হবে?

   1. ক

      ৯

   2. খ

      ১০

   3. গ

      ৫০

   4. ঘ

      ৫০০

   উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর:

   খ) ১০

   1. প্রশ্নমতে $N(t) > ১০০০ \implies 2^t > 1000$।
   2. ২-এর ঘাতসমূহ হিসাব করে পাই $2^9 = ৫১২$ এবং $2^{10} = ১০২৪$।

   $$2^9 = 512 < 1000 < 1024 = 2^{10}$$

   3. যেহেতু $৫১২ < ১০০০ < ১০২৪$, তাই ব্যাকটেরিয়ার সংখ্যা ১০০০ অতিক্রম করতে নূন্যতম পূর্ণসংখ্যা $t = ১০$ হতে হবে।

   $$t \ge 10$$
3. ৩

   পদ্মা সেতুর টোল প্লাজায় একটি স্বয়ংক্রিয় যানবাহন শনাক্তকারী সেন্সরের প্রতিক্রিয়া সময় $t$ সেকেন্ড একটি সূচকীয় সমীকরণ মেনে চলে: $2^{t+4} - 2^{t+1} = 112$। সেন্সরটির প্রতিক্রিয়া সময় $t$ কত সেকেন্ড?

   উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর:

   ৩ s

   1. প্রদত্ত সমীকরণটি হলো $2^{t+4} - 2^{t+1} = 112$। সূচকের নিয়ম অনুসারে পদগুলোকে পৃথক করে পাই $2^t \cdot 2^4 - 2^t \cdot 2^1 = 112$।
   2. $2^t$ সাধারণ উৎপাদক নিয়ে পাই $2^t(16 - 2) = 112 \implies 14 \cdot 2^t = 112$।
   3. উভয় পক্ষকে ১৪ দিয়ে ভাগ করে পাই $2^t = \frac{112}{14} = 8 = 2^3$।

   $$2^t = 8 = 2^3$$

   4. উভয় পক্ষের ভিত্তি একই হওয়ায় সূচক তুলনা করে পাই $t = ৩\text{ s}$।

   $$t = 3$$