ফাংশনসমূহের লেখচিত্র

অনুশীলনের প্রশ্ন

1. ১

   বগুড়ার ঐতিহ্যবাহী দই তৈরির সময় হালকা গরম দুধে ল্যাকটিক অ্যাসিড ব্যাকটেরিয়া যোগ করা হলো। অনুকূল পরিবেশে ব্যাকটেরিয়ার সংখ্যা $N(t) = 2^t$ সূচকীয় ফাংশন অনুযায়ী বৃদ্ধি পায়, যেখানে $t$ হলো বিভাজন চক্রের সংখ্যা (প্রতি চক্রে সংখ্যা দ্বিগুণ হয়)। ব্যাকটেরিয়ার সংখ্যা প্রথমবার ১০০০ অতিক্রম করতে কমপক্ষে কতটি বিভাজন চক্র ($t$) সম্পন্ন হতে হবে?

   1. ক

      ৯

   2. খ

      ১০

   3. গ

      ৫০

   4. ঘ

      ৫০০

   উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর:

   খ) ১০

   1. প্রশ্নমতে $N(t) > ১০০০ \implies 2^t > 1000$।
   2. ২-এর ঘাতসমূহ হিসাব করে পাই $2^9 = ৫১২$ এবং $2^{10} = ১০২৪$।

   $$2^9 = 512 < 1000 < 1024 = 2^{10}$$

   3. যেহেতু $৫১২ < ১০০০ < ১০২৪$, তাই ব্যাকটেরিয়ার সংখ্যা ১০০০ অতিক্রম করতে নূন্যতম পূর্ণসংখ্যা $t = ১০$ হতে হবে।

   $$t \ge 10$$
2. ২

   $a > 0$ এবং $a \ne 1$ শর্তে সূচকীয় ফাংশন $f(x) = a^x$ এবং লগারিদমীয় ফাংশন $g(x) = \log_a x$ পরস্পর বিপরীত ফাংশন (Inverse functions) কেন? এদের লেখচিত্রের মধ্যকার জ্যামিতিক সম্পর্কটি ব্যাখ্যা করো।

   উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর:

   লগারিদমের সংজ্ঞানুসারে $y = a^x$ সমীকরণটি $x = \log_a y$-এর সমতুল্য; ফলে একটি ফাংশনের ডোমেন অপরটির রেঞ্জ হয় এবং $f(g(x)) = g(f(x)) = x$ সম্পর্ক বজায় থাকে বলে এরা পরস্পর বিপরীত ফাংশন। জ্যামিতিকভাবে, যেকোনো বিপরীত ফাংশন জোড়ার মতো $y = a^x$ এবং $y = \log_a x$-এর লেখচিত্র দুটি কার্তেসীয় সমতলে $y = x$ সরলরেখার সাপেক্ষে পরস্পরের প্রতিসম (Symmetric) বা দর্পণ প্রতিবিম্ব।

   1. যদি $y = f(x) = a^x$ হয়, তবে বিপরীত ফাংশনের সংজ্ঞানুসারে $x = f^{-1}(y) = \log_a y$, যা চলক পরিবর্তনে $f^{-1}(x) = \log_a x = g(x)$ নির্দেশ করে।

   $$y = a^x \iff x = \log_a y \implies f^{-1}(x) = \log_a x$$

   2. ফাংশন দুটির সংযোজন যাচাই করলে দেখা যায় $f(g(x)) = a^{\log_a x} = x$ এবং $g(f(x)) = \log_a(a^x) = x$।

   $$f(g(x)) = x \quad \text{and} \quad g(f(x)) = x$$

   3. লেখচিত্রে $(u, v)$ বিন্দুটি $y = a^x$-এর ওপর অবস্থান করলে $(v, u)$ বিন্দুটি $y = \log_a x$-এর ওপর থাকে, ফলে এদের লেখচিত্র $y = x$ রেখার সাপেক্ষে প্রতিসম হয়।
3. ৩

   $y=\left(\frac{1}{2}\right)^x$ ফাংশনের লেখচিত্র সম্পর্কে— i. লেখচিত্রটি $(0,1)$ বিন্দু দিয়ে যায়। ii. $x$-এর মান বাড়লে $y$-এর মান কমে। iii. লেখচিত্রটি $x$-অক্ষকে ছেদ করে। নিচের কোনটি সঠিক?

   1. ক

      i ও iii

   2. খ

      ii ও iii

   3. গ

      i ও ii

   4. ঘ

      i, ii ও iii

   উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর:

   গ) i ও ii

   1. $x=0$ হলে $y=1$; তাই i সঠিক। ভিত্তি $0$ ও $1$-এর মধ্যে হওয়ায় ফাংশনটি হ্রাসমান; তাই ii সঠিক।
   2. সব বাস্তব $x$-এর জন্য $y>0$; তাই লেখচিত্রটি $x$-অক্ষকে ছেদ করে না। সুতরাং iii সঠিক নয়।