দইয়ের ব্যাকটেরিয়া বৃদ্ধি ও লগারিদম

প্রতি ধাপে ব্যাকটেরিয়া দ্বিগুণ হওয়া মানে সংখ্যাটি ২ এর সূচক আকারে বাড়ে: y = ২ˣ। এটি রৈখিক বৃদ্ধির মতো ধীর নয়, বরং দ্রুতগতিতে উল্লম্ফন ঘটে। মাত্র ১০টি বিভাজনেই ২¹⁰ = ১০২৪ হয়ে সংখ্যাটি ১০০০ অতিক্রম করে। এই সূচকীয় সম্পর্কের উল্টো প্রশ্ন—'নির্দিষ্ট সংখ্যক ব্যাকটেরিয়া (y) পেতে কতটি ধাপ (x) লাগবে?'—এর উত্তর দেয় লগারিদম: x = log₂(y)। লেখচিত্রে সূচকীয় রেখা y = ২ˣ এবং লগারিদম রেখা y = log₂ x পরস্পর y = x সরলরেখার সাপেক্ষে প্রতিসম (প্রতিফলন), কারণ তারা পরস্পরের বিপরীত ফাংশন।

যদি বৃদ্ধি রৈখিক হতো (যেমন প্রতি ধাপে ২টি করে যোগ হতো বা ২ × x = ১০০০), তবে ৫০০ ধাপ লাগত। কিন্তু ব্যাকটেরিয়া প্রতি ধাপে গুণ আকারে বাড়ে—৩ ধাপে ৮টি, ৪ ধাপে ১৬টি, ৫ ধাপে ৩২টি। আবার ৯ ধাপে সংখ্যাটি হয় ২⁹ = ৫১২, যা ১০০০ এর চেয়ে কম; তাই ১০০০ অতিক্রম করতে অবশ্যই ১০ম ধাপে যেতে হবে, যেখানে সংখ্যাটি হয় ১০২৪। log₂(১০০০) ≈ ৯.৯৭, অর্থাৎ পূর্ণাঙ্গ ধাপে ১০০০ ছাড়াতে কমপক্ষে ১০টি বিভাজন প্রয়োজন।