সূচক সম্পর্কিত বিভিন্ন সূত্র (মূলদ ও অমূলদ সূচকের জন্য)

সূচকের সূত্রগুলো দিয়ে বড়ো গুণফল ও ঘাতের রাশি সহজ করা যায়। প্রথমে স্বাভাবিক সংখ্যার সূচকের জন্য সূত্রগুলো গাণিতিক আরোহ পদ্ধতিতে প্রমাণ করা হয়। এরপর শূন্য, ঋণাত্মক ও মূলদ সূচকের সংজ্ঞা এমনভাবে দেওয়া হয়েছে যেন সূত্রগুলো সেখানেও সত্য থাকে।

$a > 0$, $b > 0$ এবং $r, s$ মূলদ সংখ্যা হলে:

• $a^r \cdot a^s = a^{r+s}$
• $\dfrac{a^r}{a^s} = a^{r-s}$
• $(a^r)^s = a^{rs}$
• $(ab)^r = a^r b^r$
• $\left(\dfrac{a}{b}\right)^r = \dfrac{a^r}{b^r}$

পূর্ণ সাংখ্যিক সূচকে $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ হলো মৌলিক সূত্র, বাকিগুলো এর থেকে পাওয়া যায়। প্রমাণের ধারা: প্রথমে $n = 1$ এর জন্য সত্যতা দেখানো হয়, তারপর $n = k$ এর জন্য সত্য ধরে $n = k + 1$ এর জন্য সত্য দেখানো হয়।

অমূলদ সূচকের ক্ষেত্রেও একই সূত্র খাটে, কারণ অমূলদ সূচকবিশিষ্ট ঘাতের মান কাছাকাছি মূলদ সূচকবিশিষ্ট ঘাতের মানগুলো থেকে নির্ণয় করা হয়।

সমীকরণ সমাধানে নিচের তথ্যগুলো বারবার কাজে লাগে। $a > 0$ এবং $a \neq 1$ হলে:

• $a^x = 1$ হলে $x = 0$।
• $a^x = a^y$ হলে $x = y$ (ভিত্তি সমান হলে সূচক সমান)।
• $a^x = b^x$, $x \neq 0$ এবং $a, b$ ধনাত্মক হলে $a = b$।

উদাহরণ। সমাধান করো: $3^{x+2} - 3^x = 72$।

১. প্রথম পদ ভাঙি: $3^{x+2} = 3^x \cdot 3^2 = 9 \cdot 3^x$। ২. তাহলে $9 \cdot 3^x - 3^x = 72$, অর্থাৎ $8 \cdot 3^x = 72$। ৩. $3^x = 9 = 3^2$। ৪. ভিত্তি সমান, তাই $x = 2$।

যাচাই: $3^4 - 3^2 = 81 - 9 = 72$। ঠিক আছে।

আরেকটি পরিচিত কৌশল: $a,b,c>0$ এবং $x,y,z\neq0$ হলে $a^x = b^y = c^z = k$ ধরে $a = k^{\frac{1}{x}}$, $b = k^{\frac{1}{y}}$, $c = k^{\frac{1}{z}}$ লিখে $k$ এর সূচক মিলিয়ে নেওয়া হয়।

সূত্রগুলো বজায় রাখার জন্যই সংজ্ঞাগুলো এমন: $a^{0}=1$, $a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}}$ এবং $a^{\frac{m}{n}}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^{m}$, যেখানে $a>0$, $m$ পূর্ণসংখ্যা ও $n$ স্বাভাবিক সংখ্যা। যেমন $a^{3}\cdot a^{-3}=a^{0}=1$, যা $a^{3}\cdot\dfrac{1}{a^{3}}=1$ এর সঙ্গে মেলে।

আরেকটি উদাহরণ। সরল করো: $\dfrac{8^{\frac{2}{3}}\cdot4^{-\frac{1}{2}}}{2^{-1}}$।

১. সব পদকে ভিত্তি $2$ এ আনি: $8^{\frac{2}{3}}=(2^{3})^{\frac{2}{3}}=2^{2}$, $4^{-\frac{1}{2}}=(2^{2})^{-\frac{1}{2}}=2^{-1}$। ২. লব $=2^{2}\cdot2^{-1}=2^{2-1}=2^{1}$। ৩. রাশি $=\dfrac{2^{1}}{2^{-1}}=2^{1-(-1)}=2^{2}=4$।

এখানে সব রাশি বিশুদ্ধ সংখ্যা, তাই কোনো একক নেই।

সাধারণ ভুল হলো $(a+b)^{r}$ কে $a^{r}+b^{r}$ লেখা, অথবা ভিন্ন ভিত্তির $2^{3}\cdot3^{2}$ এর সূচক যোগ করে ফেলা। সূচক যোগ বা বিয়োগ করা যায় কেবল ভিত্তি এক হলে; আর $(ab)^{r}=a^{r}b^{r}$ সূত্রটি গুণফলের জন্য, যোগফলের জন্য নয়।

মনে রাখো: সূচকীয় সমীকরণ সমাধানে সূত্র খাটিয়ে দুই পক্ষকে একই ভিত্তিতে এনে সূচক সমান করো।