মূলদ ও অমূলদ সূচক

যে সংখ্যাকে বারবার গুণ করা হয় তা ভিত্তি, আর কতবার গুণ করা হবে তা সূচক। $a^n = a \cdot a \cdots a$ ($n$ সংখ্যক উৎপাদক) এবং সংজ্ঞা অনুযায়ী $a^1 = a$।

শূন্য ও ঋণাত্মক পূর্ণ সাংখ্যিক সূচক

$a \neq 0$ হলে:

• $a^0 = 1$
• $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$, যেখানে $n$ স্বাভাবিক সংখ্যা

সূচকের মৌলিক সূত্র $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ যাতে সব ক্ষেত্রে ঠিক থাকে, সেদিকে খেয়াল রেখেই এই সংজ্ঞা। সূত্রটি $m = 0$ এর জন্য সত্য হলে $a^0 \cdot a^n = a^n$, তাই $a^0 = 1$ হতেই হবে। একইভাবে $a^{-n} \cdot a^n = a^0 = 1$ থেকে $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$। যেমন $7^{-2} = \dfrac{1}{49}$ এবং $10^{-1} = 0.1$।

মূল

যদি $x^n = a$ হয়, তবে $x$ কে $a$ এর একটি $n$ তম মূল বলা হয়। $n = 2$ হলে বর্গমূল, $n = 3$ হলে ঘনমূল।

• $a > 0$ হলে $a$ এর একটি অনন্য ধনাত্মক $n$ তম মূল আছে, একে $\sqrt[n]{a}$ লিখে মুখ্য মূল বলা হয়। $n$ জোড় হলে $-\sqrt[n]{a}$ও একটি মূল। যেমন $2$ ও $-2$ দুটিই $16$ এর ৪র্থ মূল।
• $a < 0$ এবং $n$ বিজোড় হলে মূল একটিই এবং তা ঋণাত্মক: $\sqrt[3]{-27} = -3$।
• $a < 0$ এবং $n$ জোড় হলে কোনো বাস্তব মূল নেই, কারণ $-9$ এর বর্গমূল নেই।

মূলদ ভগ্নাংশ সূচক ও অমূলদ সূচক

$a > 0$ এবং $n > 1$ স্বাভাবিক সংখ্যা হলে $a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$ এবং $a^{\frac{m}{n}} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m = \sqrt[n]{a^m}$। $\dfrac{m}{n} = \dfrac{p}{q}$ হলে $a^{\frac{m}{n}} = a^{\frac{p}{q}}$, অর্থাৎ ভগ্নাংশ সমান হলে মানও সমান।

সূচক অমূলদ হলে, যেমন $2^{\sqrt{2}}$, তখন $\sqrt{2} = 1.41421\ldots$ এর কাছাকাছি মূলদ সংখ্যা নিয়ে মান ঠিক করা হয়। $2^{1.4} \approx 2.639$, $2^{1.41} \approx 2.657$, $2^{1.414} \approx 2.665$; মানগুলো ক্রমশ একটি নির্দিষ্ট সংখ্যার কাছে যায়, সেটিই $2^{\sqrt{2}}$ এর মান।

উদাহরণ। $16^{-\frac{3}{4}}$ এর মান নির্ণয় করো।

১. $16^{\frac{1}{4}} = 2$, কারণ $2^4 = 16$। ২. $16^{\frac{3}{4}} = 2^3 = 8$। ৩. $16^{-\frac{3}{4}} = \dfrac{1}{8}$।

মনে রাখো: ভগ্নাংশ সূচকের হর হলো মূল, লব হলো ঘাত, আর ঋণাত্মক সূচক মানে বিপরীত সংখ্যা (উল্টো করা)।