দ্বিপদী বিস্তৃতি

প্যাসকেলের ত্রিভুজ থেকে ঘাত $n = ৪$-এর জন্য সহগসমূহ হলো: ১, ৪, ৬, ৪, ১। অতএব, $(১ - \frac{x}{২})^৪ = ১(১)^৪ + ৪(১)^৩(-\frac{x}{২}) + ৬(১)^২(-\frac{x}{২})^২ + ৪(১)(-\frac{x}{২})^৩ + ১(-\frac{x}{২})^৪$ $= ১ - ৪(\frac{x}{২}) + ৬(\frac{x^২}{৪}) - ৪(\frac{x^৩}{৮}) + \frac{x^৪}{১৬}$ $= ১ - ২x + \frac{৩}{২}x^২ - \frac{১}{২}x^৩ + \frac{x^৪}{১৬}$।

রাশি ১: $A = (১ + kx)^৫ = ১ + \binom{৫}{১}(kx) + \binom{৫}{২}(kx)^২ + \binom{৫}{৩}(kx)^৩ + \dots$ এখানে $x^২$-এর সহগ = $\binom{৫}{২} k^২ = \frac{৫ \times ৪}{২} k^২ = ১০ k^২$। শর্তমতে, $১০ k^২ = ৪০ \implies k^২ = ৪ \implies k = ২$ (যেহেতু $k > ০$)। এখন, বিস্তৃতিটিতে $x^৩$-এর সহগ = $\binom{৫}{৩} k^৩ = \frac{৫ \times ৪ \times ৩}{৩ \times ২ \times ১} \times ২^৩ = ১০ \times ৮ = ৮০$।

রাশি ২: $B = (x^২ + \frac{২}{x})^৬$। এখানে ঘাত $n = ৬$ হওয়ায় মোট পদসংখ্যা $৬ + ১ = ৭$টি। মধ্যপদটি হলো $(\frac{৬}{২} + ১) = ৪$র্থ পদ ($r = ৩$)। সাধারণ পদ: $T_{r+১} = \binom{৬}{r} (x^২)^{৬-r} (\frac{২}{x})^r = \binom{৬}{r} ২^r x^{১২ - ৩r}$। মধ্যপদ $T_৪ = \binom{৬}{৩} ২^৩ x^{১২ - ৯} = ২০ \times ৮ x^৩ = ১৬০ x^৩$। অতএব মধ্যপদের সাংখ্যিক সহগ = ১৬০। আবার, $x$-বর্জিত পদের জন্য $x$-এর ঘাত শূন্য হবে: $১২ - ৩r = ০ \implies ৩r = ১২ \implies r = ৪$। সুতরাং $x$-বর্জিত পদটি হলো $(৪ + ১) = ৫$ম পদ ($T_৫$)। $T_৫ = \binom{৬}{৪} ২^৪ x^{১২ - ১২} = ১৫ \times ১৬ \times ১ = ২৪০$। অতএব $x$-বর্জিত পদের সাংখ্যিক মান = ২৪০। তুলনা করে দেখা যায়: ২৪০ > ১৬০। অর্থাৎ, $x$-বর্জিত পদের সাংখ্যিক মান মধ্যপদের সাংখ্যিক সহগের চেয়ে বৃহত্তর।