n! ও nCr এর মান

ফ্যাক্টোরিয়াল

$1$ থেকে $n$ পর্যন্ত সব স্বাভাবিক সংখ্যার গুণফলকে $n!$ লেখা হয় এবং পড়া হয় "ফ্যাক্টোরিয়াল $n$":

$$n! = n(n-1)(n-2) \cdots 3 \cdot 2 \cdot 1$$

যেমন $3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$, $4! = 24$, $5! = 120$। লক্ষ করো, $5! = 5 \cdot 4!$, অর্থাৎ $n! = n \cdot (n-1)!$। আবার $0! = 1$ ধরা হয়। নিচের সূত্র থেকেই এটি পাওয়া যায়: $\binom{n}{n} = 1$ সত্য হতে হলে $0! = 1$ হতেই হবে।

কাজে লাগার মতো মান: $6! = 720$, $7! = 5040$, $8! = 40320$।

$^nC_r$ চিহ্ন

দ্বিপদী বিস্তৃতির সহগ $\binom{n}{r}$ কে $^nC_r$ দিয়েও লেখা হয়। দুটির মান এক, যেখানে $r \leq n$:

$$^nC_r = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}$$

এটিকে এভাবেও লেখা যায়: $\dfrac{n(n-1)(n-2) \cdots (n-r+1)}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots r}$, যার লবে ও হরে $r$ টি করে উৎপাদক থাকে। এখানে $n$ মোট সংখ্যা আর $r$ হলো কয়টি নেওয়া হচ্ছে।

বিশেষ মান ও একটি প্রতিসাম্য:

• $^nC_0 = 1$ এবং $^nC_n = 1$
• $^nC_1 = n$
• $^nC_r = {}^nC_{n-r}$, কারণ $r$ ও $n - r$ স্থান বদল করলে $r!\,(n-r)!$ একই থাকে

উদাহরণ। $^7C_3$ ও $^8C_2$ এর মান নির্ণয় করো।

১. $^7C_3 = \dfrac{7!}{3!\,4!} = \dfrac{7 \cdot 6 \cdot 5}{1 \cdot 2 \cdot 3} = \dfrac{210}{6} = 35$। ২. $^8C_2 = \dfrac{8!}{2!\,6!} = \dfrac{8 \cdot 7}{1 \cdot 2} = 28$।

প্যাসকেলের ত্রিভুজের সাথে মিলিয়ে দেখো: $n = 8$ এর সারিতে তৃতীয় সংখ্যা $28$ এবং $n = 7$ এর সারিতে চতুর্থ সংখ্যা $35$। দুটিই মেলে।

ফ্যাক্টোরিয়ালের ভাগে পুরো গুণফল বের করার দরকার হয় না; মিলে যাওয়া অংশ কেটে দিলেই হয়। যেমন $\dfrac{6!}{4!}=\dfrac{6\cdot5\cdot4!}{4!}=6\cdot5=30$। একইভাবে প্রতিসাম্য কাজে লাগালে $^8C_6={}^8C_2=28$, তাই বড়ো গুণফল এড়ানো যায়।

সাধারণ ভুল হলো $0!=0$ ধরা। $0!=1$; নইলে $^nC_0=\dfrac{n!}{0!\,n!}$ এর হর শূন্য হয়ে যেত। আরেকটি ভুল হলো $\dfrac{6!}{4!}$ কে $\left(\dfrac{6}{4}\right)!$ ভাবা; ফ্যাক্টোরিয়ালের ভাগে এমন কোনো নিয়ম নেই।

মনে রাখো: $n! = n(n-1)\cdots 2 \cdot 1$ এবং $0! = 1$; আর $^nC_r = \dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}$ হলো $(r+1)$ তম পদের সহগ।