মিরপুর শের-ই-বাংলা জাতীয় ক্রিকেট স্টেডিয়ামে একটি টুর্নামেন্টে nটি দল অংশগ্রহণ করে। প্রতিটি দল অন্য প্রতিটি দলের সাথে ঠিক একটি করে ম্যাচ খেললে মোট ম্যাচের সংখ্যা C(n, ২) দ্বারা নির্ধারিত হয়। টুর্নামেন্টে মোট ২১টি ম্যাচ অনুষ্ঠিত হলে অংশগ্রহণকারী দলের সংখ্যা n কত?

সঠিক উত্তর: খ) ৭। দ্বিপদী সহগের সূত্র অনুসারে C(n, ২) = (n(n - ১))/২। প্রশ্নমতে, (n(n - ১))/২ = ২১ ⇒ n(n - ১) = ৪২ ⇒ n² - n - ৪২ = ০। (n - ৭)(n + ৬) = ০। যেহেতু দলের সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না (n > ০), তাই n = ৭।

যদি (১ + kx)⁷-এর দ্বিপদী বিস্তৃতিতে x² এবং x³-এর সহগদ্বয় পরস্পর সমান হয়, তবে অশূন্য ধ্রুবক k-এর মান কত?

সঠিক উত্তর: খ) ৩/৫। (১ + kx)⁷-এর বিস্তৃতিতে x²-এর সহগ হলো C(৭, ২) k² এবং x³-এর সহগ হলো C(৭, ৩) k³। সহগগুলোর মান নির্ণয় করি: C(৭, ২) = (৭ × ৬)/২ = ২১ এবং C(৭, ৩) = (৭ × ৬ × ৫)/৬ = ৩৫। শর্তমতে, ২১ k² = ৩৫ k³। যেহেতু k ≠ ০, উভয় পক্ষকে ৭ k² দ্বারা ভাগ করে পাই: ৩ = ৫ k ⇒ k = ৩/৫।

চট্টগ্রাম প্রকৌশল ও প্রযুক্তি বিশ্ববিদ্যালয়ের (CUET) একটি ল্যাবরেটরিতে একটি সংকর ধাতুর দণ্ডের দৈর্ঘ্য প্রসারণের মডেল L = (১ + ২x)⁵ m দ্বারা প্রকাশ করা হলো। দ্বিপদী বিস্তৃতির সাহায্যে x²-এর পদ পর্যন্ত (প্রথম ৩টি পদ) বিস্তার করে x = ০.০১ এর জন্য দণ্ডটির দৈর্ঘ্য কত মিটার (m) হবে তা নির্ণয় করো।

সঠিক উত্তর: ১.১০৪ m। (১ + ২x)⁵-কে দ্বিপদী উপপাদ্যের সাহায্যে x²-এর পদ পর্যন্ত বিস্তার করি: (১ + ২x)⁵ = ১ + C(৫, ১)(২x) + C(৫, ২)(২x)²। সহগ নির্ণয় করে পাই: ১ + ৫(২x) + ১০(৪x²) = ১ + ১০x + ৪০x²। x = ০.০১ বসিয়ে পাই: L = ১ + ১০(০.০১) + ৪০(০.০১)² = ১ + ০.১ + ৪০(০.০০০১) = ১ + ০.১ + ০.০০৪ = ১.১০৪ m।

উচ্চতর গণিত · অধ্যায় ১০ · টপিক ৫

গাণিতিক সমস্যা সমাধান

চালিয়ে দেখো এই অধ্যায় অনুশীলন করো

পড়ার নোট

এই অধ্যায়ের বেশিরভাগ সমস্যায় চারটির যেকোনো একটি করতে বলা হয়: প্রথম কয়েকটি পদ নির্ণয়, নির্দিষ্ট কোনো পদ বা সহগ নির্ণয়, আসন্ন মান নির্ণয়, অথবা দেওয়া শর্ত থেকে অজানা মান নির্ণয়।

ধাপসমূহ

১. $(x + y)^n$ আকারে $x$ , $y$ ও $n$ চিহ্নিত করো। দ্বিপদীর প্রথম পদ $1$ হলে $(1 + y)^n$ ব্যবহার করো। ২. প্যাসকেলের ত্রিভুজ বা $^nC_r$ থেকে সহগ নাও। ৩. প্রতিটি পদ $^nC_r\, x^{n-r} y^r$ আকারে লিখে ঘাত ও চিহ্ন সরল করো। বন্ধনীর ভেতরে বিয়োগ চিহ্ন থাকলে ওই অংশের বিজোড় ঘাতগুলো ঋণাত্মক হয়। ৪. নির্দিষ্ট পদ বা সহগের জন্য সাধারণ পদ $T_{r+1}$ ব্যবহার করে চাওয়া ঘাত মেলাও।

আসন্ন মান নির্ণয়

সংখ্যাটিকে $1 +$ ক্ষুদ্র একটি অংশ আকারে ভেঙে নাও, তারপর শুধু প্রথম কয়েকটি পদ ব্যবহার করো।

উদাহরণ ১। $(1.02)^6$ এর মান চার দশমিক স্থান পর্যন্ত নির্ণয় করো।

১. এখানে $y = 0.02$ এবং $n = 6$ । সহগ: $1, 6, 15, 20, \ldots$ ২. $(1 + 0.02)^6 = 1 + 6(0.02) + 15(0.02)^2 + 20(0.02)^3 + \cdots$ ৩. $= 1 + 0.12 + 15(0.0004) + 20(0.000008) + \cdots$ ৪. $= 1 + 0.12 + 0.006 + 0.00016 + \cdots = 1.12616 + \cdots$ ৫. বাকি পদগুলো খুব ছোটো, তাই $(1.02)^6 \approx 1.1262$ ।

$x$ বর্জিত পদ

উদাহরণ ২। $\left(x + \dfrac{1}{x}\right)^6$ এর বিস্তৃতিতে $x$ বর্জিত পদ নির্ণয় করো।

১. $T_{r+1} = {}^6C_r\, x^{6-r}\left(\dfrac{1}{x}\right)^r = {}^6C_r\, x^{6-2r}$ । ২. $x$ বর্জিত মানে $x$ এর ঘাত $0$ : $6 - 2r = 0$ , তাই $r = 3$ । ৩. $T_4 = {}^6C_3 = \dfrac{6 \cdot 5 \cdot 4}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 20$ ।

নির্দিষ্ট ঘাতের সহগ

উদাহরণ ৩। $\left(1 + \dfrac{x}{2}\right)^8$ এর বিস্তৃতিতে $x^3$ এর সহগ নির্ণয় করো।

১. $T_{r+1} = {}^8C_r \left(\dfrac{x}{2}\right)^r$ , আর $x^3$ এর জন্য $r = 3$ । ২. সহগ $= {}^8C_3 \cdot \dfrac{1}{2^3} = 56 \cdot \dfrac{1}{8} = 7$ ।

সহগ দেওয়া থাকলে এবং কিছু অজানা থাকলে সমীকরণ তৈরি করে সমাধান করো। যেমন ${}^nC_5 = {}^nC_7$ হলে $5 + 7 = n$ , অর্থাৎ $n = 12$ ।

মনে রাখো: $T_{r+1} = {}^nC_r\, x^{n-r} y^r$ দিয়ে সঠিক পদটি বেছে নাও, আর আসন্ন মানের জন্য সংখ্যাটিকে $1 +$ ক্ষুদ্র অংশ ধরে প্রথম কয়েকটি পদ রাখো।

২০২৬ সালের NCTB পাঠ্যবই অনুসরণ করে লেখা।

চালিয়ে দেখো

ডিপিএস সঞ্চয় ও দ্বিপদী বিস্তৃতিচালিয়ে দেখো
একটি স্কুল ব্যাংকিং ডিপিএস (DPS) অ্যাকাউন্টে প্রতি বছর ১০% চক্রবৃদ্ধি মুনাফা যুক্ত হয় (b = ০.১)। ১ বছর শেষে ১ টাকা বেড়ে হয় ১.১০ টাকা। দ্বিপদী বিস্তৃতি (১ + ০.১)⁵ ব্যবহার করলে ৫ বছর পর এই ১ টাকা বেড়ে মোট কত টাকা হবে?

অনুশীলনের প্রশ্ন

মিরপুর শের-ই-বাংলা জাতীয় ক্রিকেট স্টেডিয়ামে একটি টুর্নামেন্টে $n$ টি দল অংশগ্রহণ করে। প্রতিটি দল অন্য প্রতিটি দলের সাথে ঠিক একটি করে ম্যাচ খেললে মোট ম্যাচের সংখ্যা $\binom{n}{২}$ দ্বারা নির্ধারিত হয়। টুর্নামেন্টে মোট ২১টি ম্যাচ অনুষ্ঠিত হলে অংশগ্রহণকারী দলের সংখ্যা $n$ কত?
1. ক
  ৬
2. খ
  ৭
3. গ
  ৮
4. ঘ
  ২১
উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর:
খ) ৭
1. দ্বিপদী সহগের সূত্র অনুসারে $\binom{n}{২} = \frac{n(n - ১)}{২}$ ।
$\binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}$
1. প্রশ্নমতে, $\frac{n(n - ১)}{২} = ২১ \implies n(n - ১) = ৪২ \implies n^২ - n - ৪২ = ০$ ।
$n(n-1) = 42 \implies n^2 - n - 42 = 0$
1. $(n - ৭)(n + ৬) = ০$ । যেহেতু দলের সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না ( $n > ০$ ), তাই $n = ৭$ ।
$(n-7)(n+6) = 0 \implies n = 7$
যদি $(১ + kx)^৭$ -এর দ্বিপদী বিস্তৃতিতে $x^২$ এবং $x^৩$ -এর সহগদ্বয় পরস্পর সমান হয়, তবে অশূন্য ধ্রুবক $k$ -এর মান কত?
1. ক
  $\frac{৫}{৩}$
2. খ
  $\frac{৩}{৫}$
3. গ
  $\frac{৭}{৫}$
4. ঘ
  $\frac{১}{৫}$
উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর:
খ) $\frac{৩}{৫}$
1. $(১ + kx)^৭$ -এর বিস্তৃতিতে $x^২$ -এর সহগ হলো $\binom{৭}{২} k^২$ এবং $x^৩$ -এর সহগ হলো $\binom{৭}{৩} k^৩$ ।
$\text{coeff}(x^2) = \binom{7}{2} k^2, \quad \text{coeff}(x^3) = \binom{7}{3} k^3$
1. সহগগুলোর মান নির্ণয় করি: $\binom{৭}{২} = \frac{৭ \times ৬}{২} = ২১$ এবং $\binom{৭}{৩} = \frac{৭ \times ৬ \times ৫}{৬} = ৩৫$ ।
$\binom{7}{2} = 21, \quad \binom{7}{3} = 35$
1. শর্তমতে, $২১ k^২ = ৩৫ k^৩$ । যেহেতু $k \ne ০$ , উভয় পক্ষকে $৭ k^২$ দ্বারা ভাগ করে পাই: $৩ = ৫ k \implies k = \frac{৩}{৫}$ ।
$21 k^2 = 35 k^3 \implies k = \frac{21}{35} = \frac{3}{5}$
চট্টগ্রাম প্রকৌশল ও প্রযুক্তি বিশ্ববিদ্যালয়ের (CUET) একটি ল্যাবরেটরিতে একটি সংকর ধাতুর দণ্ডের দৈর্ঘ্য প্রসারণের মডেল $L = (১ + ২x)^৫$ m দ্বারা প্রকাশ করা হলো। দ্বিপদী বিস্তৃতির সাহায্যে $x^২$ -এর পদ পর্যন্ত (প্রথম ৩টি পদ) বিস্তার করে $x = ০.০১$ এর জন্য দণ্ডটির দৈর্ঘ্য কত মিটার (m) হবে তা নির্ণয় করো।
উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর:
১.১০৪ m
1. $(১ + ২x)^৫$ -কে দ্বিপদী উপপাদ্যের সাহায্যে $x^২$ -এর পদ পর্যন্ত বিস্তার করি: $(১ + ২x)^৫ = ১ + \binom{৫}{১}(২x) + \binom{৫}{২}(২x)^২$ ।
$(1 + 2x)^5 = 1 + \binom{5}{1}(2x) + \binom{5}{2}(2x)^2$
1. সহগ নির্ণয় করে পাই: $১ + ৫(২x) + ১০(৪x^২) = ১ + ১০x + ৪০x^২$ ।
$1 + 10x + 40x^2$
1. $x = ০.০১$ বসিয়ে পাই: $L = ১ + ১০(০.০১) + ৪০(০.০১)^২ = ১ + ০.১ + ৪০(০.০০০১) = ১ + ০.১ + ০.০০৪ = ১.১০৪$ m।
$L = 1 + 0.1 + 0.004 = 1.104\text{ m}$

এই টপিক নিয়ে প্রশ্ন আছে?

মেন্টরকে বাংলায় বা ইংরেজিতে জিজ্ঞেস করো, বা খাতার ছবি দাও। সিমুলেশন চালিয়ে বুঝিয়ে দেবে।

মেন্টরকে জিজ্ঞেস করো