ডিপিএস সঞ্চয় ও দ্বিপদী বিস্তৃতি
মান বদলাও, চালাও, আর দেখো কী ঘটে।
একটি স্কুল ব্যাংকিং ডিপিএস (DPS) অ্যাকাউন্টে প্রতি বছর ১০% চক্রবৃদ্ধি মুনাফা যুক্ত হয় (b = ০.১)। ১ বছর শেষে ১ টাকা বেড়ে হয় ১.১০ টাকা। দ্বিপদী বিস্তৃতি (১ + ০.১)⁵ ব্যবহার করলে ৫ বছর পর এই ১ টাকা বেড়ে মোট কত টাকা হবে?
১০% মুনাফায় ৫ বছর পর ১ টাকা বেড়ে মোট কত টাকা হবে?
- ১.৫০ টাকা: পাঁচ বছরে ৫ বার ১০%
- ১.৬১ টাকা
- ২.০০ টাকা
যা বদলাতে পারবে
- সময়কাল বা বছর (n): ১ থেকে ১০
- পদের সূচক (r): ০ থেকে ১০
- বার্ষিক মুনাফার হার (b): ০.০৫ থেকে ০.২
যা মেপে দেখাবে
- (r + ১)-তম পদের মান
- মোট টাকা (১ + b)ⁿ
- দ্বিপদী সহগ (ⁿCᵣ)
- পদগুলোর সমষ্টি
চালানোর সময় খেয়াল করো
- n = ৫ বসাও। এরপর r বদলে দেখো প্রতিটি পদের অবদান কত এবং পরের পদগুলো কীভাবে মোট টাকা ১.৬১ এ নিয়ে যায়।
নিজে করে দেখো
- (১ + ০.১)⁵ এর বিস্তৃতিতে কোন পদটির মান ঠিক ০.১? r এর মান পরিবর্তন করে সেই পদটি খুঁজে বের করো।
ইঙ্গিত
সাধারণ পদ Tᵣ₊₁ = ⁿCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ। এখানে n = ৫, b = ০.১ রেখে r = ২ বসিয়ে ৩য় পদের মান দেখো।
- প্রতি বছর ১০% চক্রবৃদ্ধি হারে (b = ০.১) ১ টাকা বেড়ে দ্বিগুণের বেশি (expansion_value ≥ ২) হতে সবচেয়ে কম কত বছর (n) লাগবে? n এর সেই ক্ষুদ্রতম মানটি বের করো।
ইঙ্গিত
b = ০.১ রেখে n এর মান ধীরে ধীরে বাড়াও। n = ৭ এ মান ১.৯৫, কিন্তু n = ৮ এ মান ২ ছাড়িয়ে যায়।
ধারণাটা কী?আগে নিজে চালিয়ে দেখো, তারপর খোলো।
দ্বিপদী বিস্তৃতি ও সাধারণ পদ Tᵣ₊₁ = ⁿCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ
দ্বিপদী উপপাদ্য অনুসারে (১ + b)ⁿ = ১ + n b + [n(n - ১)/২] b² + …। এখানে সাধারণ পদ Tᵣ₊₁ = ⁿCᵣ aⁿ⁻ʳ bʳ। যখন b এর মান ক্ষুদ্র (যেমন ০.১), তখন প্রথম কয়েকটি পদ যোগ করলেই কাছাকাছি নিখুঁত মান পাওয়া যায়। ৫ বছরে ১ টাকা বেড়ে হয় (১ + ০.১)⁵ = ১ + ০.৫ + ০.১ + ০.০১ + … = ১.৬১ টাকা। দ্বিতীয় পদ ০.৫ হলো মূল টাকার সরল মুনাফা, আর পরের পদগুলো হলো মুনাফার ওপর মুনাফা।
অন্য উত্তরগুলো কেন ভুল
সরল মুনাফায় প্রতি বছর মূল টাকার ওপর ১০% বা ০.১০ টাকা যোগ হলে ৫ বছরে ১.৫০ টাকা হতো। কিন্তু চক্রবৃদ্ধি মুনাফায় আগের মুনাফার ওপরও নতুন মুনাফা অর্জিত হয়। দ্বিপদী বিস্তৃতির ৩য় ও পরবর্তী পদগুলো (০.১ + ০.০১ + …) এই চক্রবৃদ্ধি অংশ যোগ করে, ফলে মোট টাকা দাঁড়ায় প্রায় ১.৬১ টাকা, ১.৫০ বা ২.০০ টাকা নয়।
যেসব ভুল ধারণা হয়
- মুনাফার ওপর মুনাফা যুক্ত হয় না, প্রতি বছর কেবল মূল টাকার ওপর সরল মুনাফা বাড়ে
- ১০% মুনাফার হারেও যেকোনো সঞ্চয় ৫ বছরেই দ্বিগুণ হয়ে যায়
বাস্তবে কোথায় দেখা যায়
- বাংলাদেশ সঞ্চয়পত্র বা ব্যাংকের ডিপিএস (DPS) স্কিমে বার্ষিক চক্রবৃদ্ধি মুনাফা ও নির্দিষ্ট মেয়াদ শেষে জমার মোট পরিমাণ হিসাব করা।
- বিবিএস (BBS) এর বার্ষিক মুদ্রাস্ফীতি বা জনসংখ্যা বৃদ্ধির ক্ষুদ্র হারে আগামী কয়েক বছরের মোট বৃদ্ধির আসন্না মান নির্ণয়।