(x + ১/x)⁸-এর দ্বিপদী বিস্তৃতিতে মধ্যপদের (middle term) মান কত?

সঠিক উত্তর: গ) ৭০। এখানে ঘাত n = ৮ একটি জোড় সংখ্যা, ফলে মোট পদসংখ্যা ৮ + ১ = ৯টি। সুতরাং মধ্যপদটি হলো (৮/২ + ১) = ৫ম পদ। সাধারণ পদের সূত্র Tᵣ₊₁ = C(n, r) a^(n-r) b^r অনুসারে ৫ম পদ (r = ৪): T₅ = C(৮, ৪) x⁸⁻⁴ (১/x)⁴। C(৮, ৪) = (৮ × ৭ × ৬ × ৫)/(৪ × ৩ × ২ × ১) = ৭০। অতএব মধ্যপদের মান ৭০।

যদি (১ + kx)⁷-এর দ্বিপদী বিস্তৃতিতে x² এবং x³-এর সহগদ্বয় পরস্পর সমান হয়, তবে অশূন্য ধ্রুবক k-এর মান কত?

সঠিক উত্তর: খ) ৩/৫। (১ + kx)⁷-এর বিস্তৃতিতে x²-এর সহগ হলো C(৭, ২) k² এবং x³-এর সহগ হলো C(৭, ৩) k³। সহগগুলোর মান নির্ণয় করি: C(৭, ২) = (৭ × ৬)/২ = ২১ এবং C(৭, ৩) = (৭ × ৬ × ৫)/৬ = ৩৫। শর্তমতে, ২১ k² = ৩৫ k³। যেহেতু k ≠ ০, উভয় পক্ষকে ৭ k² দ্বারা ভাগ করে পাই: ৩ = ৫ k ⇒ k = ৩/৫।

(2x-1)⁶-এর বিস্তৃতিতে x⁴-এর সহগ কত?

সঠিক উত্তর: ঘ) 240। x⁴-যুক্ত পদ পেতে সাধারণ পদে 6-r=4, অর্থাৎ r=2 নিতে হবে। তাই নির্ণেয় সহগ 240।

উচ্চতর গণিত · অধ্যায় ১০ · টপিক ৩

সাধারণ ঘাতের জন্য দ্বিপদী বিস্তৃতি

চালিয়ে দেখো এই অধ্যায় অনুশীলন করো

পড়ার নোট

$(x + y)^n$ এর বিস্তৃতি, যেখানে $n$ ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা, সাধারণভাবে দ্বিপদী উপপাদ্য নামে পরিচিত। $(1 + y)^n$ এর বিস্তৃতি থেকেই এটি পাওয়া যায়: $(x + y)^n = x^n\left(1 + \dfrac{y}{x}\right)^n$ লিখে বন্ধনী বিস্তৃত করা হয়।

(x + y)^n = x^n + \binom{n}{1} x^{n-1} y + \binom{n}{2} x^{n-2} y^2 + \cdots + \binom{n}{n} y^n

ফ্যাক্টোরিয়াল ব্যবহার করে একই বিস্তৃতি:

(x + y)^n = x^n + n x^{n-1} y + \frac{n(n-1)}{2!} x^{n-2} y^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!} x^{n-3} y^3 + \cdots + y^n

এখানে $n$ ঘাত (স্বাভাবিক সংখ্যা, $n \leq 8$ ) এবং $\binom{n}{r}$ দ্বিপদী সহগ।

লক্ষণীয় বিষয়

পদসংখ্যা $n + 1$ ।
$x$ এর ঘাত $n$ থেকে কমে $0$ তে আসে, আর $y$ এর ঘাত $0$ থেকে বেড়ে $n$ হয়।
প্রতিটি পদে $x$ ও $y$ এর ঘাতের যোগফল $n$ ।
সাধারণ পদ বা $(r + 1)$ তম পদ: $T_{r+1} = \binom{n}{r} x^{n-r} y^r$ ।
$(1 + y)^n$ এর জন্য $x = 1$ বসিয়ে পাই $T_{r+1} = \binom{n}{r} y^r$ ।

সহগ প্যাসকেলের ত্রিভুজ থেকে বা সূত্র থেকে নেওয়া যায়।

ব্যবহার

$x$ ও $y$ এর জায়গায় যা আছে বসাও এবং চিহ্ন ঠিক রাখো। কোনো পদ ঋণাত্মক হলে চিহ্নসহ বন্ধনীতে বসাও, যেমন $(2 - x)^n = (2 + (-x))^n$ ।

উদাহরণ। $(2 + x)^5$ বিস্তৃত করো।

১. $n = 5$ এর সহগ: $1, 5, 10, 10, 5, 1$ । ২. $2$ এর ঘাত $5$ থেকে $0$ তে কমে, $x$ এর ঘাত $0$ থেকে $5$ এ বাড়ে: $2^5 + 5 \cdot 2^4 x + 10 \cdot 2^3 x^2 + 10 \cdot 2^2 x^3 + 5 \cdot 2 x^4 + x^5$ । ৩. মান বসাই: $32,\ 5 \cdot 16 = 80,\ 10 \cdot 8 = 80,\ 10 \cdot 4 = 40,\ 5 \cdot 2 = 10,\ 1$ । ৪. $(2 + x)^5 = 32 + 80x + 80x^2 + 40x^3 + 10x^4 + x^5$ ।

যাচাই, $x = 1$ ধরলে: $3^5 = 243$ এবং $32 + 80 + 80 + 40 + 10 + 1 = 243$ । ঠিক আছে।

মনে রাখো: $(x + y)^n$ এ $x$ এর ঘাত কমে ও $y$ এর ঘাত বাড়ে, যোগফল সবসময় $n$ ; আর $(r + 1)$ তম পদ হলো $\binom{n}{r} x^{n-r} y^r$ ।

২০২৬ সালের NCTB পাঠ্যবই অনুসরণ করে লেখা।

চালিয়ে দেখো

ডিপিএস সঞ্চয় ও দ্বিপদী বিস্তৃতিচালিয়ে দেখো
একটি স্কুল ব্যাংকিং ডিপিএস (DPS) অ্যাকাউন্টে প্রতি বছর ১০% চক্রবৃদ্ধি মুনাফা যুক্ত হয় (b = ০.১)। ১ বছর শেষে ১ টাকা বেড়ে হয় ১.১০ টাকা। দ্বিপদী বিস্তৃতি (১ + ০.১)⁵ ব্যবহার করলে ৫ বছর পর এই ১ টাকা বেড়ে মোট কত টাকা হবে?

অনুশীলনের প্রশ্ন

$(x + \frac{১}{x})^৮$ -এর দ্বিপদী বিস্তৃতিতে মধ্যপদের (middle term) মান কত?
1. ক
  ২৮
2. খ
  ৫৬
3. গ
  ৭০
4. ঘ
  ৩৫
উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর:
গ) ৭০
1. এখানে ঘাত $n = ৮$ একটি জোড় সংখ্যা, ফলে মোট পদসংখ্যা $৮ + ১ = ৯$ টি। সুতরাং মধ্যপদটি হলো $(\frac{৮}{২} + ১) = ৫$ ম পদ।
$\text{Middle term index} = \frac{8}{2} + 1 = 5$
1. সাধারণ পদের সূত্র $T_{r+১} = \binom{n}{r} a^{n-r} b^r$ অনুসারে ৫ম পদ ( $r = ৪$ ): $T_৫ = \binom{৮}{৪} x^{৮ - ৪} (\frac{১}{x})^৪$ ।
$T_5 = \binom{8}{4} x^4 \left(\frac{1}{x}\right)^4 = \binom{8}{4}$
1. $\binom{৮}{৪} = \frac{৮ \times ৭ \times ৬ \times ৫}{৪ \times ৩ \times ২ \times ১} = ৭০$ । অতএব মধ্যপদের মান ৭০।
$\binom{8}{4} = 70$
যদি $(১ + kx)^৭$ -এর দ্বিপদী বিস্তৃতিতে $x^২$ এবং $x^৩$ -এর সহগদ্বয় পরস্পর সমান হয়, তবে অশূন্য ধ্রুবক $k$ -এর মান কত?
1. ক
  $\frac{৫}{৩}$
2. খ
  $\frac{৩}{৫}$
3. গ
  $\frac{৭}{৫}$
4. ঘ
  $\frac{১}{৫}$
উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর:
খ) $\frac{৩}{৫}$
1. $(১ + kx)^৭$ -এর বিস্তৃতিতে $x^২$ -এর সহগ হলো $\binom{৭}{২} k^২$ এবং $x^৩$ -এর সহগ হলো $\binom{৭}{৩} k^৩$ ।
$\text{coeff}(x^2) = \binom{7}{2} k^2, \quad \text{coeff}(x^3) = \binom{7}{3} k^3$
1. সহগগুলোর মান নির্ণয় করি: $\binom{৭}{২} = \frac{৭ \times ৬}{২} = ২১$ এবং $\binom{৭}{৩} = \frac{৭ \times ৬ \times ৫}{৬} = ৩৫$ ।
$\binom{7}{2} = 21, \quad \binom{7}{3} = 35$
1. শর্তমতে, $২১ k^২ = ৩৫ k^৩$ । যেহেতু $k \ne ০$ , উভয় পক্ষকে $৭ k^২$ দ্বারা ভাগ করে পাই: $৩ = ৫ k \implies k = \frac{৩}{৫}$ ।
$21 k^2 = 35 k^3 \implies k = \frac{21}{35} = \frac{3}{5}$
$(2x-1)^6$ -এর বিস্তৃতিতে $x^4$ -এর সহগ কত?
1. ক
  $15$
2. খ
  $60$
3. গ
  $-240$
4. ঘ
  $240$
উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর:
ঘ) $240$
1. $x^4$ -যুক্ত পদ পেতে সাধারণ পদে $6-r=4$ , অর্থাৎ $r=2$ নিতে হবে।
$T_{r+1}={}^{6}C_r(2x)^{6-r}(-1)^r$
1. তাই নির্ণেয় সহগ $240$ ।
${}^{6}C_2\cdot 2^4\cdot(-1)^2=15\cdot16=240$

এই টপিক নিয়ে প্রশ্ন আছে?

মেন্টরকে বাংলায় বা ইংরেজিতে জিজ্ঞেস করো, বা খাতার ছবি দাও। সিমুলেশন চালিয়ে বুঝিয়ে দেবে।

মেন্টরকে জিজ্ঞেস করো