প্যাসকেল ত্রিভুজ গঠন

অনুশীলনের প্রশ্ন

1. ১

   প্যাসকেলের ত্রিভুজ (Pascal's triangle) ব্যবহার করে $(১ - x)^৪$-এর দ্বিপদী বিস্তৃতিতে $x^২$-এর সহগ (coefficient) কত হবে?

   1. ক

      -৬

   2. খ

      ৬

   3. গ

      ৪

   4. ঘ

      -৪

   উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর:

   খ) ৬

   1. প্যাসকেলের ত্রিভুজ অনুসারে ঘাত $n = ৪$-এর জন্য সহগগুলোর ক্রম হলো: ১, ৪, ৬, ৪, ১।

   $$1, \quad 4, \quad 6, \quad 4, \quad 1$$

   2. $(১ - x)^৪ = ১(১)^৪ + ৪(১)^৩(-x) + ৬(১)^২(-x)^২ + ৪(১)(-x)^৩ + ১(-x)^৪ = ১ - ৪x + ৬x^২ - ৪x^৩ + x^৪$।

   $$(1 - x)^4 = 1 - 4x + 6x^2 - 4x^3 + x^4$$

   3. সুতরাং, বিস্তৃতিতে $x^২$-এর সহগ হলো ৬।
2. ২

   প্যাসকেলের ত্রিভুজ (Pascal's triangle) কীভাবে গঠিত হয় এবং উচ্চ ঘাতের দ্বিপদী বিস্তারে এর সীমাবদ্ধতা কী — ব্যাখ্যা করো।

   উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর:

   প্যাসকেলের ত্রিভুজের প্রতিটি সারির শুরুতে ও শেষে ১ থাকে এবং ভেতরের প্রতিটি পদ তার ঠিক উপরের সারির পাশাপাশি দুটি পদের যোগফলের সমান হয়, যা $(a + b)^n$-এর বিস্তৃতির সহগ প্রদান করে। তবে ঘাত $n$-এর মান অনেক বড় হলে পূর্ববর্তী সবকটি সারি ধারাবাহিকভাবে তৈরি করতে হয় বলে এই পদ্ধতিতে সহগ নির্ণয় অত্যন্ত সময়সাপেক্ষ ও কষ্টসাধ্য হয়। এজন্য উচ্চ ঘাতের ক্ষেত্রে প্যাসকেলের ত্রিভুজের চেয়ে দ্বিপদী সহগ $\binom{n}{r}$ বা দ্বিপদী উপপাদ্য ব্যবহার করা অধিকতর সুবিধাজনক।

   1. প্যাসকেলের ত্রিভুজের শীর্ষে ১ থাকে এবং পরবর্তী প্রতি সারির দুই প্রান্তে ১ বসে; মাঝের প্রতিটি সংখ্যা উপরের সারির পাশাপাশি দুটি পদের যোগফল $\binom{n}{r} = \binom{n-১}{r-১} + \binom{n-১}{r}$ হিসেবে গঠিত হয়।

   $$\binom{n}{r} = \binom{n-1}{r-1} + \binom{n-1}{r}$$

   2. এই ত্রিভুজের $n$-তম সারি $(a + b)^n$-এর বিস্তৃতির $(n + ১)$টি পদের সহগ নির্দেশ করে।
   3. ঘাত $n$ বড় হলে (যেমন $n = ১৫$ বা ২০) পূর্ববর্তী সব সারি ধাপে ধাপে তৈরি করা জটিল ও সময়সাপেক্ষ হয়, তাই সরাসরি সহগ বের করতে দ্বিপদী সহগ $\binom{n}{r}$ বা দ্বিপদী উপপাদ্য ব্যবহৃত হয়।
3. ৩

   প্যাসকেলের ত্রিভুজে— i. প্রতিটি সারির প্রথম ও শেষ সংখ্যা $1$। ii. প্রান্তের সংখ্যা ছাড়া প্রতিটি সংখ্যা তার ঠিক ওপরের সারির সংলগ্ন দুটি সংখ্যার যোগফল। iii. প্রান্তের সংখ্যা ছাড়া প্রতিটি সংখ্যা তার ঠিক ওপরের সারির সংলগ্ন দুটি সংখ্যার গুণফল। নিচের কোনটি সঠিক?

   1. ক

      i ও ii

   2. খ

      i ও iii

   3. গ

      ii ও iii

   4. ঘ

      i, ii ও iii

   উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর:

   ক) i ও ii

   1. প্যাসকেলের ত্রিভুজ গঠনের নিয়ম অনুযায়ী প্রতিটি সারির প্রান্তে $1$ থাকে এবং ভেতরের সংখ্যাগুলো ওপরের সারির সংলগ্ন দুটি সংখ্যার যোগ করে পাওয়া যায়। তাই i ও ii সঠিক, iii সঠিক নয়।