বিদ্যালয়ে যাওয়ার পথ: দূরত্ব ও সরণ
মান বদলাও, চালাও, আর দেখো কী ঘটে।
রাজশাহীতে নীলা তার বাড়ি থেকে বিদ্যালয়ে যাওয়ার জন্য একটি পুকুরের পাশ দিয়ে হেঁটে গেল: প্রথমে সোজা পূর্ব দিকে ৩০০ m, তারপর সোজা উত্তর দিকে ৪০০ m। ছক কাগজের প্রতি ঘরের মান ১০০ m ধরে ভেক্টর দুটি হলো a = (৩, ০) এবং b = (০, ৪)। বাড়ি থেকে বিদ্যালয়ের সরলরৈখিক সরণ কত হবে?
বাড়ি থেকে বিদ্যালয়ের সোজা সরলরৈখিক দূরত্ব (সরণ) কত?
- ৭০০ m: মোট অতিক্রান্ত দূরত্বই সরণ (৩০০ + ৪০০ = ৭০০ m)
- ৫০০ m
- ১০০ m: দুটি পথের বিয়োগফল (৪০০ − ৩০০ = ১০০ m)
যা বদলাতে পারবে
- দ্বিতীয় ধাপের পূর্ব বা পশ্চিম উপাংশ (bx): −৮ থেকে ৮ ×100 m
- দ্বিতীয় ধাপের উত্তর বা দক্ষিণ উপাংশ (by): −৮ থেকে ৮ ×100 m
যা মেপে দেখাবে
- লব্ধি সরণ (|a + b|) (×100 m)
- প্রথম ধাপের মান (|a|) (×100 m)
- দ্বিতীয় ধাপের মান (|b|) (×100 m)
- সরণের দিক (কোণ) (°)
চালানোর সময় খেয়াল করো
- পূর্বমুখী ভেক্টর a = (৩, ০) এর সাথে উত্তরমুখী ভেক্টর b = (০, ৪) যোগ করলে একটি সমকোণী ত্রিভুজ গঠিত হয়। পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে লব্ধির মান বের করো: √(৩² + ৪²)।
নিজে করে দেখো
- দ্বিতীয় ধাপে ৪০০ m হেঁটে (magnitude_b = ৪) এমন একটি দিকে যাও যাতে মোট সরণ ঠিক ৭০০ m (৭ একক) হয়।
ইঙ্গিত
সরণ সর্বোচ্চ তখনই হয় যখন দুটি ভেক্টর একই দিকে থাকে: প্রথম ধাপের মতো দ্বিতীয় ধাপটিও সোজা পূর্ব দিকে (bx = ৪, by = ০) নিয়ে দেখো।
- বিদ্যালয়ে না গিয়ে নীলাকে তার শুরুর অবস্থানে (বাড়িতে) ফিরিয়ে আনার জন্য দ্বিতীয় ধাপের ভেক্টর b বেছে নাও।
ইঙ্গিত
প্রথম ধাপ ছিল ৩ একক পূর্ব দিকে (ax = ৩)। আদি অবস্থানে ফিরতে হলে দ্বিতীয় ধাপে উল্টো দিকে পশ্চিমে ৩ একক (bx = −৩, by = ০) যেতে হবে।
ধারণাটা কী?আগে নিজে চালিয়ে দেখো, তারপর খোলো।
দূরত্ব ও সরণ: সরণ একটি ভেক্টর রাশি
দূরত্ব হলো আঁকাবাঁকা বা যেকোনো পথে অতিক্রান্ত মোট দৈর্ঘ্য, যা একটি স্কেলার রাশি (|a| + |b| = ৩০০ + ৪০০ = ৭০০ m)। সরণ হলো আদি অবস্থান থেকে শেষ অবস্থানের সরাসরি সরলরৈখিক দূরত্ব ও দিক, যা একটি ভেক্টর রাশি (s = a + b)। এখানে পূর্ব ও উত্তর দিক পরস্পর লম্ব হওয়ায় পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে সরণের মান হয়: √(৩০০² + ৪০০²) = ৫০০ m (বা ছক কাগজে √(৩² + ৪²) = ৫ একক = ৫০০ m)। সাধারণভাবে |a + b| ≤ |a| + |b| হয়; দুটি সরণ ভেক্টর যখন ঠিক একই সরলরেখায় একই দিকে কাজ করে, কেবল তখনই সরণের মান দূরত্বের সমান হয়।
অন্য উত্তরগুলো কেন ভুল
৭০০ m হলো নীলার মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব, সরণ নয়। সরণ হলো শুরুর বিন্দু থেকে শেষের বিন্দুর সরাসরি সংযোগকারী সরলরেখার দৈর্ঘ্য, যা সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ হিসেবে ৫০০ m হয়। আবার দিক দুটি পরস্পর লম্ব হওয়ায় এদের বিয়োগ করে ১০০ m হবে না। ভেক্টর রাশিতে মান ও দিক উভয় বিবেচনা করে জ্যামিতিক উপায়ে যোগ করতে হয়।
যেসব ভুল ধারণা হয়
- সরণ সবসময় মোট অতিক্রান্ত দূরত্বের সমান হয়
- পরস্পর লম্ব দিকের গতিতে একটি মান থেকে অন্যটি সরাসরি বিয়োগ হয়
বাস্তবে কোথায় দেখা যায়
- রাজশাহী বা ঢাকার আঁকাবাঁকা সড়ক ও গলিপথে রিকশা বা হেঁটে মোট দূরত্বের চেয়ে শুরু ও গন্তব্যের সরলরৈখিক সরণ কম হওয়া, যা মানচিত্র ও জিপিএস নেভিগেশনে ব্যবহৃত হয়।
- নদীমাতৃক বাংলাদেশে পদ্মা ও যমুনা নদীতে এক ঘাট থেকে অন্য ঘাটে লঞ্চ বা ট্রলার পারাপারে আঁকাবাঁকা গতিপথের তুলনায় দুই ঘাটের মধ্যবর্তী সরাসরি সরণ হিসাব করে গতিপথ নির্ধারণ করা।