উচ্চতর গণিত · অধ্যায় ৩

জ্যামিতি

SSC Higher Math Chapter 3

২টি টপিক
২টি সিমুলেশন
১০ পিরিয়ড

পাঠ শুরু করো এই অধ্যায় অনুশীলন করো

সিমুলেশন

টপিক

লম্ব অভিক্ষেপ
পড়ে নাও
পিথাগোরাসের উপপাদ্যকে স্থূলকোণী ও সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজে বিস্তৃত করতে লম্ব অভিক্ষেপ ধারণাটি দরকার। সহজভাবে বললে, কোনো বিন্দু বা রেখাংশ থেকে একটি নির্দিষ্ট সরলরেখার উপর লম্ব টেনে যা পাওয়া যায়, তা-ই লম্ব অভিক্ষেপ।
পুরো টপিক পড়ো →
পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিস্তৃতি
স্থূলকোণী ত্রিভুজের স্থূলকোণের বিপরীত বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্র ঐ কোণের সন্নিহিত অন্য দুই বাহুর ওপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের এবং ঐ দুইবাহুর যেকোনো একটি ও তার ওপর অপর বাহুর লম্ব অভিক্ষেপের অন্তর্গত আয়তক্ষেত্রের দ্বিগুণের সমষ্টির সমান · যেকোনো ত্রিভুজে সূক্ষ্ণ কোণের বিপরীত বাহুর ওপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্র অপর দুই বাহুর ওপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের সমষ্টি অপেক্ষা ঐ দুই বাহুর যেকোনো একটি ও তার ওপর অপরটির লম্ব অভিক্ষেপের অন্তর্গত আয়তক্ষেত্রের দ্বিগুণ পরিমাণ কম · ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর ওপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের সমষ্টি, তৃতীয় বাহুর অর্ধেকের ওপর বর্গক্ষেত্র এবং ঐ বাহুর সমদ্বিখণ্ডক মধ্যমার ওপর বর্গক্ষেত্রের সমষ্টির দ্বিগুণ · ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র, ভরকেন্দ্র ও লম্ববিন্দু সমরেখ। ব্রহ্মগুপ্তের উপপাদ্য · কোনো ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর অন্তর্গত আয়তক্ষেত্র ঐ ত্রিভুজের পরিবৃত্তের ব্যাস এবং ঐ বাহুদ্বয়ের সাধারণ বিন্দু থেকে ভূমির ওপর অঙ্কিত লম্বের অন্তর্গত আয়তক্ষেত্রের সমান। টলেমির উপপাদ্য · বৃত্তে অন্তর্লিখিত কেনো চতুর্ভুজের কর্ণদ্বয়ের অন্তর্গত আয়তক্ষেত্র ঐ চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুদ্বয়ের অন্তর্গত আয়তক্ষেত্রের সমষ্টির সমান
পড়ে নাও
পিথাগোরাসের উপপাদ্য শুধু সমকোণী ত্রিভুজের জন্য নয়, স্থূলকোণী ও সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রেও এর বিস্তৃত রূপ আছে। এগুলো লম্ব অভিক্ষেপের ধারণা ব্যবহার করে প্রমাণ করা হয়। ১.
পুরো টপিক পড়ো →

শিখনফল

লম্ব অভিক্ষেপের ধারণা ব্যাখ্যা করতে পারবে।
পিথাগোরাসের উপপাদ্যের উপর ভিত্তি করে প্রদত্ত উপপাদ্যগুলো প্রমাণ ও প্রয়োগ করতে পারবে।
ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র, ভরকেন্দ্র ও লম্ববিন্দু সম্পর্কিত উপপাদ্যগুলো প্রমাণ ও প্রয়োগ করতে পারবে।
ব্রহ্মগুপ্তের উপপাদ্য প্রমাণ ও প্রয়োগ করতে পারবে।
টলেমির উপপাদ্য প্রমাণ ও প্রয়োগ করতে পারবে।

এই অধ্যায়ের সূত্র

অ্যাপোলোনিয়াসের উপপাদ্য
$AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + BD^2)$
সিমুলেশনে দেখো →
স্থূলকোণী ত্রিভুজে পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিস্তৃতি ও লম্ব অভিক্ষেপ
$AB^2 = BC^2 + CA^2 + 2 \cdot BC \cdot CD$
সিমুলেশনে দেখো →

এই বিষয়ের সব সূত্র →

সৃজনশীল প্রশ্ন ও উত্তর

ময়মনসিংহে অবস্থিত বাংলাদেশ কৃষি বিশ্ববিদ্যালয়ের একটি প্রদর্শনী খামার $\triangle ABC$ আকৃতির। খামারটির সীমানা প্রাচীরের তিন বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে $AB = ৯\text{ m}$ , $BC = ১০\text{ m}$ এবং $AC = ১৩\text{ m}$ । $BC$ বাহুর মধ্যবিন্দু $D$ , অর্থাৎ $AD$ খামারটির একটি মধ্যমা। এছাড়া খামারটির অভ্যন্তরে ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র $S$ , ভরকেন্দ্র $G$ এবং লম্ববিন্দু $O$ চিহ্নিত করা আছে।

ক
যেকোনো ত্রিভুজের ক্ষেত্রে পরিকেন্দ্র, ভরকেন্দ্র ও লম্ববিন্দু কখন একই বিন্দুতে সমাপতিত (মিলিত) হয় — জ্যামিতিক কারণসহ ব্যাখ্যা করো।
উত্তর দেখাও
সমবাহু ত্রিভুজের (Equilateral triangle) ক্ষেত্রে পরিকেন্দ্র, ভরকেন্দ্র ও লম্ববিন্দু একই বিন্দুতে সমাপতিত হয়। সমবাহু ত্রিভুজে প্রতিটি শীর্ষ থেকে বিপরীত বাহুর ওপর অঙ্কিত লম্ব, মধ্যমা এবং বাহুর লম্ব সমদ্বিখণ্ডক মূলত একই সরলরেখা। ফলে তাদের ছেদবিন্দুগুলো (পরিকেন্দ্র, ভরকেন্দ্র ও লম্ববিন্দু) আলাদা না হয়ে একই অভিন্ন বিন্দুতে অবস্থান করে।
খ
অ্যাপোলোনিয়াসের উপপাদ্য (Apollonius' theorem) ব্যবহার করে খামারটির মধ্যমা $AD$ -এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করো।
উত্তর দেখাও
$D$ বিন্দুটি $BC$ -এর মধ্যবিন্দু হওয়ায় $BD = \frac{BC}{২} = \frac{১০}{২} = ৫\text{ m}$ । অ্যাপোলোনিয়াসের উপপাদ্য অনুসারে, $AB^2 + AC^2 = ২(AD^2 + BD^2) \implies ৯^২ + ১৩^২ = ২(AD^2 + ৫^২) \implies ৮১ + ১৬৯ = ২(AD^2 + ২৫) \implies ২৫০ = ২(AD^2 + ২৫) \implies AD^2 + ২৫ = ১২৫ \implies AD^2 = ১০০ \implies AD = \sqrt{১০০} = ১০\text{ m}$ । অতএব মধ্যমা $AD$ -এর দৈর্ঘ্য ১০ m।
গ
যদি $BC$ বাহুর ওপর শীর্ষ $A$ থেকে অঙ্কিত লম্ব $AE$ হয়, তবে পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিস্তৃতি ব্যবহার করে $BC$ -এর ওপর $AB$ -এর লম্ব অভিক্ষেপ $BE$ নির্ণয় করো এবং দেখাও যে $AC^2 - AB^2 = ২ \cdot BC \cdot ED$ ।
উত্তর দেখাও
যেহেতু $AC^2 = ১৩^২ = ১৬৯$ এবং $AB^2 + BC^2 = ৯^২ + ১০^২ = ৮১ + ১০০ = ১৮১$ , তাই $AC^2 < AB^2 + BC^2$ ; সুতরাং $\angle B$ একটি সূক্ষ্মকোণ। সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজে পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিস্তৃতি অনুসারে: $AC^2 = AB^2 + BC^2 - ২ \cdot BC \cdot BE \implies ১৬৯ = ১৮১ - ২ \times ১০ \times BE \implies ২০ \cdot BE = ১২ \implies BE = \frac{১২}{২০} = ০.৬\text{ m}$ । আবার, $D$ মধ্যবিন্দু হওয়ায় $BD = ৫\text{ m}$ , ফলে $ED = BD - BE = ৫ - ০.৬ = ৪.৪\text{ m}$ । এখন, বামপক্ষ $= AC^2 - AB^2 = ১৩^২ - ৯^২ = ১৬৯ - ৮১ = ৮৮$ । ডানপক্ষ $= ২ \cdot BC \cdot ED = ২ \times ১০ \times ৪.৪ = ৮৮$ । অতএব বামপক্ষ = ডানপক্ষ, অর্থাৎ $AC^2 - AB^2 = ২ \cdot BC \cdot ED$ (দেখানো হলো)।

সৃজনশীল প্রশ্নের উত্তর লেখার নিয়ম →

সিমুলেশন

টপিক

লম্ব অভিক্ষেপ

পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিস্তৃতি

শিখনফল

এই অধ্যায়ের সূত্র

সৃজনশীল প্রশ্ন ও উত্তর