লম্ব অভিক্ষেপ

অনুশীলনের প্রশ্ন

1. ১

   পদ্মা সেতুর নদীশাসন কাজের সার্ভে করতে গিয়ে প্রকৌশলীরা একটি সমতল ভিত্তি রেখার (Base line) ওপর ৫ m দীর্ঘ একটি উলম্ব খুঁটি স্থাপন করলেন। ভিত্তি রেখাটির ওপর এই লম্ব খুঁটিটির লম্ব অভিক্ষেপের (Orthogonal projection) দৈর্ঘ্য কত?

   1. ক

      ০ m

   2. খ

      ৫ m

   3. গ

      ২.৫ m

   4. ঘ

      ১০ m

   উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর:

   ক) ০ m

   1. কোনো নির্দিষ্ট সরলরেখার ওপর লম্বভাবে অবস্থিত যেকোনো রেখাংশের লম্ব অভিক্ষেপ একটি বিন্দু হয়।
   2. যেহেতু একটি বিন্দুর কোনো দৈর্ঘ্য নেই (বা দৈর্ঘ্য শূন্য), তাই ভিত্তি রেখার ওপর উলম্ব খুঁটিটির লম্ব অভিক্ষেপের দৈর্ঘ্য ০ m।

   $$\text{Length} = 0\text{ m}$$
2. ২

   ঢাকার একটি কাঠের আসবাবপত্র তৈরির কারখানায় ত্রিভুজাকার ফ্রেম $\triangle ABC$ তৈরি করা হলো, যার $\angle C$ স্থূলকোণ। ফ্রেমটির বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য $BC = ১১\text{ cm}$, $AC = ১৩\text{ cm}$ এবং $AB = ২০\text{ cm}$। শীর্ষ $A$ থেকে $BC$-এর বর্ধিতাংশের ওপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দু $D$ হলে, স্থূলকোণী ত্রিভুজে পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিস্তৃতি অনুসারে $BC$-এর ওপর $AC$ বাহুর লম্ব অভিক্ষেপ $CD$-এর দৈর্ঘ্য কত সেন্টিমিটার?

   উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর:

   ৫ cm

   1. স্থূলকোণী ত্রিভুজে পিথাগোরাসের বিস্তৃতির উপপাদ্য অনুসারে: $AB^2 = AC^2 + BC^2 + ২ \cdot BC \cdot CD$।

   $$AB^2 = AC^2 + BC^2 + 2 \cdot BC \cdot CD$$

   2. প্রদত্ত মান বসিয়ে পাই: $২০^২ = ১৩^২ + ১১^২ + ২ \times ১১ \times CD \implies ৪০০ = ১৬৯ + ১২১ + ২২ \cdot CD$।

   $$400 = 290 + 22 \cdot CD$$

   3. $২২ \cdot CD = ৪০০ - ২৯০ = ১১০ \implies CD = \frac{১১০}{২২} = ৫\text{ cm}$।

   $$CD = \frac{110}{22} = 5\text{ cm}$$
3. ৩

   স্থূলকোণী বা সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিস্তৃতি কীভাবে সমকোণী ত্রিভুজের মূল পিথাগোরাসের উপপাদ্যে রূপান্তরিত হয় — তা লম্ব অভিক্ষেপের ধারণার সাহায্যে ব্যাখ্যা করো।

   উত্তর ও ব্যাখ্যা

   সঠিক উত্তর:

   ত্রিভুজের অন্তর্ভুক্ত কোণটি সমকোণ ($৯০^\circ$) হলে শীর্ষবিন্দু থেকে ভূমির ওপর অঙ্কিত লম্বটি ঠিক অপর শীর্ষবিন্দুতেই আপতিত হয়, ফলে ভূমির ওপর সন্নিহিত বাহুর লম্ব অভিক্ষেপ একটি বিন্দুতে পরিণত হয় এবং এর দৈর্ঘ্য শূন্য ($CD = ০$) হয়। পিথাগোরাসের বিস্তৃতির সূত্রে ($AB^2 = AC^2 + BC^2 \pm ২ \cdot BC \cdot CD$) লম্ব অভিক্ষেপ $CD = ০$ বসালে অতিরিক্ত আয়তক্ষেত্রের অংশটি বিলুপ্ত হয়। এর ফলে সূত্রটি সরাসরি মূল পিথাগোরাসের উপপাদ্য $AB^2 = AC^2 + BC^2$-এ রূপান্তরিত হয়।

   1. পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিস্তৃতির সাধারণ রূপ হলো $AB^2 = AC^2 + BC^2 \pm ২ \cdot BC \cdot CD$, যেখানে $CD$ হলো $BC$-এর ওপর $AC$-এর লম্ব অভিক্ষেপ।

   $$AB^2 = AC^2 + BC^2 \pm 2 \cdot BC \cdot CD$$

   2. যদি $\angle C = ৯০^\circ$ হয়, তবে $AC$ বাহুটি $BC$-এর ওপর সরাসরি লম্ব হয়, ফলে $BC$-এর ওপর $AC$-এর লম্ব অভিক্ষেপের দৈর্ঘ্য $CD = ০$।

   $$\angle C = 90^\circ \implies CD = 0$$

   3. $CD = ০$ বসালে পাই $AB^2 = AC^2 + BC^2 \pm ২ \cdot BC \cdot (০) = AC^2 + BC^2$, যা মূল পিথাগোরাসের উপপাদ্য।