রাজশাহীর একটি ত্রিভুজাকার উদ্যানে পরিকেন্দ্র (Circumcentre) S, ভরকেন্দ্র (Centroid) G এবং লম্ববিন্দু (Orthocentre) O একই সরলরেখায় (অয়লার রেখা) অবস্থিত। যদি লম্ববিন্দু ও পরিকেন্দ্রের মধ্যকার দূরত্ব OS = ১২ m হয়, তবে ভরকেন্দ্র থেকে পরিকেন্দ্রের দূরত্ব GS কত?

সঠিক উত্তর: ক) ৪ m। উপপাদ্য অনুসারে, যেকোনো ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র S, ভরকেন্দ্র G ও লম্ববিন্দু O সমরেখ এবং ভরকেন্দ্র G, লম্ববিন্দু ও পরিকেন্দ্রের সংযোগকারী রেখাংশকে ২ : ১ অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে (OG : GS = ২ : ১)। সুতরাং GS = ১/(২ + ১) × OS = ১/৩ × ১২ m = ৪ m।

চট্টগ্রামের একটি কারুশিল্প প্রদর্শনীতে বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজাকার (Cyclic quadrilateral) একটি পিতলের ফ্রেম ABCD তৈরি করা হলো, যার বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য AB = ১৫ cm, BC = ২০ cm, CD = ২৪ cm এবং AD = ৭ cm। ফ্রেমটির একটি কর্ণ AC = ২৫ cm হলে, টলেমির উপপাদ্য (Ptolemy's theorem) অনুসারে অপর কর্ণ BD-এর দৈর্ঘ্য কত?

সঠিক উত্তর: ক) ২০ cm। টলেমির উপপাদ্য অনুসারে, বৃত্তে অন্তর্লিখিত কোনো চতুর্ভুজের কর্ণদ্বয়ের অন্তর্গত আয়তক্ষেত্র তার বিপরীত বাহুদ্বয়ের অন্তর্গত আয়তক্ষেত্রের সমষ্টির সমান: AC · BD = AB · CD + BC · AD। প্রদত্ত মান বসিয়ে পাই: ২৫ × BD = (১৫ × ২৪) + (২০ × ৭) = ৩৬০ + ১৪০ = ৫০০। অতএব BD = ৫০০/২৫ = ২০ cm।

কুমিল্লার একটি ঐতিহ্যবাহী কারুশিল্পে বৃত্তে অন্তর্লিখিত একটি চতুর্ভুজ ABCD অঙ্কিত আছে, যার কর্ণদ্বয় AC ও BD পরস্পর লম্বভাবে X বিন্দুতে ছেদ করে। X বিন্দু থেকে AB বাহুর ওপর অঙ্কিত লম্বকে বিপরীত দিকে বর্ধিত করায় তা বিপরীত বাহু CD-কে M বিন্দুতে ছেদ করে। CD = ১৪ cm হলে, ব্রহ্মগুপ্তের উপপাদ্য (Brahmagupta's theorem) অনুসারে CM-এর দৈর্ঘ্য কত?

সঠিক উত্তর: ক) ৭ cm। ব্রহ্মগুপ্তের উপপাদ্য অনুসারে, বৃত্তে অন্তর্লিখিত কোনো চতুর্ভুজের কর্ণদ্বয় পরস্পর লম্ব হলে, তাদের ছেদবিন্দু থেকে যেকোনো বাহুর ওপর অঙ্কিত লম্ব বিপরীত বাহুকে সমদ্বিখণ্ডিত করে। যেহেতু X থেকে AB-এর ওপর অঙ্কিত লম্বের বিপরীত বর্ধিতাংশ CD বাহুকে M বিন্দুতে ছেদ করে, তাই M হলো CD-এর মধ্যবিন্দু, অর্থাৎ CM = MD। অতএব CM = ১/২ × ১৪ cm = ৭ cm।

উচ্চতর গণিত · অধ্যায় ৩ · টপিক ২

পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিস্তৃতি

স্থূলকোণী ত্রিভুজের স্থূলকোণের বিপরীত বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্র ঐ কোণের সন্নিহিত অন্য দুই বাহুর ওপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের এবং ঐ দুইবাহুর যেকোনো একটি ও তার ওপর অপর বাহুর লম্ব অভিক্ষেপের অন্তর্গত আয়তক্ষেত্রের দ্বিগুণের সমষ্টির সমান
যেকোনো ত্রিভুজে সূক্ষ্ণ কোণের বিপরীত বাহুর ওপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্র অপর দুই বাহুর ওপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের সমষ্টি অপেক্ষা ঐ দুই বাহুর যেকোনো একটি ও তার ওপর অপরটির লম্ব অভিক্ষেপের অন্তর্গত আয়তক্ষেত্রের দ্বিগুণ পরিমাণ কম
ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর ওপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের সমষ্টি, তৃতীয় বাহুর অর্ধেকের ওপর বর্গক্ষেত্র এবং ঐ বাহুর সমদ্বিখণ্ডক মধ্যমার ওপর বর্গক্ষেত্রের সমষ্টির দ্বিগুণ
ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র, ভরকেন্দ্র ও লম্ববিন্দু সমরেখ। ব্রহ্মগুপ্তের উপপাদ্য
কোনো ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর অন্তর্গত আয়তক্ষেত্র ঐ ত্রিভুজের পরিবৃত্তের ব্যাস এবং ঐ বাহুদ্বয়ের সাধারণ বিন্দু থেকে ভূমির ওপর অঙ্কিত লম্বের অন্তর্গত আয়তক্ষেত্রের সমান। টলেমির উপপাদ্য
বৃত্তে অন্তর্লিখিত কেনো চতুর্ভুজের কর্ণদ্বয়ের অন্তর্গত আয়তক্ষেত্র ঐ চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুদ্বয়ের অন্তর্গত আয়তক্ষেত্রের সমষ্টির সমান

চালিয়ে দেখো এই অধ্যায় অনুশীলন করো

পড়ার নোট

পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিস্তৃতি

পিথাগোরাসের উপপাদ্য শুধু সমকোণী ত্রিভুজের জন্য নয়, স্থূলকোণী ও সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রেও এর বিস্তৃত রূপ আছে। এগুলো লম্ব অভিক্ষেপের ধারণা ব্যবহার করে প্রমাণ করা হয়।

১. স্থূলকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে: স্থূলকোণের বিপরীত বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল, অন্য দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টি এবং একটি বাহু ও তার উপর অপর বাহুর লম্ব অভিক্ষেপের অন্তর্গত আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের দ্বিগুণের সমষ্টির সমান।

সূত্র: $AB^2 = AC^2 + BC^2 + 2 \cdot BC \cdot CD$
যেখানে $CD$ হলো $AC$ এর লম্ব অভিক্ষেপ $BC$ এর বর্ধিতাংশের উপর।

২. সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে: সূক্ষ্মকোণের বিপরীত বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল, অন্য দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের সমষ্টি থেকে একটি বাহু ও তার উপর অপর বাহুর লম্ব অভিক্ষেপের অন্তর্গত আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের দ্বিগুণ কম।

সূত্র: $AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot BC \cdot CD$
যেখানে $CD$ হলো $AC$ এর লম্ব অভিক্ষেপ $BC$ এর উপর।

৩. মধ্যমার উপপাদ্য (অ্যাপোলোনিয়াসের উপপাদ্য): ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের সমষ্টি, তৃতীয় বাহুর অর্ধেকের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্র এবং মধ্যমার উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের সমষ্টির দ্বিগুণ।

সূত্র: $AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + BD^2)$
যেখানে $AD$ হলো $BC$ এর মধ্যমা, এবং $BD = DC$ ।

৪. ত্রিভুজের বিশেষ বিন্দু: কোনো ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র, ভরকেন্দ্র ও লম্ববিন্দু সমরেখ। এই রেখাটিকে বলা হয় অয়লার রেখা।

৫. ব্রহ্মগুপ্তের উপপাদ্য: কোনো ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর অন্তর্গত আয়তক্ষেত্র, পরিবৃত্তের ব্যাস এবং ঐ বাহুদ্বয়ের সাধারণ বিন্দু থেকে ভূমির উপর অঙ্কিত লম্বের অন্তর্গত আয়তক্ষেত্রের সমান।

৬. টলেমির উপপাদ্য: বৃত্তে অন্তর্লিখিত কোনো চতুর্ভুজের কর্ণদ্বয়ের অন্তর্গত আয়তক্ষেত্র, তার বিপরীত বাহুদ্বয়ের অন্তর্গত আয়তক্ষেত্রদ্বয়ের সমষ্টির সমান।

সূত্র: $AC \cdot BD = AB \cdot CD + AD \cdot BC$

উদাহরণ (সাংখ্যিক): ধরো, $\triangle ABC$ এ $AC = ৫$ সেমি, $BC = ৪$ সেমি, এবং $\angle C$ সূক্ষ্মকোণ। $BC$ এর উপর $AC$ এর লম্ব অভিক্ষেপ $CD = ৩$ সেমি। তবে $AB^2$ এর মান কত?

সূত্র: $AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot BC \cdot CD$
$AB^2 = 5^2 + 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot 3 = 25 + 16 - 24 = 17$
$\therefore AB = \sqrt{17}$ সেমি

মনে রাখো: স্থূলকোণের ক্ষেত্রে সূত্রে যোগ হয়, সূক্ষ্মকোণের ক্ষেত্রে বিয়োগ হয় — লম্ব অভিক্ষেপ কীভাবে পড়ছে তার উপর নির্ভর করে।

২০২৬ সালের NCTB পাঠ্যবই অনুসরণ করে লেখা।

চালিয়ে দেখো

ত্রিভুজের বাহু ও মধ্যমার সম্পর্ক (অ্যাপোলোনিয়াসের উপপাদ্য)চালিয়ে দেখো
একটি ত্রিভুজাকার সীমানায় ভূমি BC = ৬ m যার মধ্যবিন্দু D (অর্থাৎ BD = ৩ m)। শীর্ষবিন্দু A শুরুতে (০, ৪) বিন্দুতে থাকায় মধ্যমা AD = ৪ m এবং দুই বাহুর বর্গের সমষ্টি AB² + AC² = ৫০। শীর্ষবিন্দু A-কে সরিয়ে (৩, ৪) অবস্থানে নিলে মধ্যমা বেড়ে AD = ৫ m হয়। তখন AB² + AC² এর সমষ্টি কত হবে?

অনুশীলনের প্রশ্ন

রাজশাহীর একটি ত্রিভুজাকার উদ্যানে পরিকেন্দ্র (Circumcentre) $S$ , ভরকেন্দ্র (Centroid) $G$ এবং লম্ববিন্দু (Orthocentre) $O$ একই সরলরেখায় (অয়লার রেখা) অবস্থিত। যদি লম্ববিন্দু ও পরিকেন্দ্রের মধ্যকার দূরত্ব $OS = ১২\text{ m}$ হয়, তবে ভরকেন্দ্র থেকে পরিকেন্দ্রের দূরত্ব $GS$ কত?
1. ক
  ৪ m
2. খ
  ৬ m
3. গ
  ৮ m
4. ঘ
  ৩ m
উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর:
ক) ৪ m
1. উপপাদ্য অনুসারে, যেকোনো ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র $S$ , ভরকেন্দ্র $G$ ও লম্ববিন্দু $O$ সমরেখ এবং ভরকেন্দ্র $G$ , লম্ববিন্দু ও পরিকেন্দ্রের সংযোগকারী রেখাংশকে $২ : ১$ অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে ( $OG : GS = ২ : ১$ )।
$OG : GS = 2 : 1$
1. সুতরাং $GS = \frac{১}{২ + ১} \times OS = \frac{১}{৩} \times ১২\text{ m} = ৪\text{ m}$ ।
$GS = \frac{1}{3} OS = \frac{1}{3} \times 12 = 4\text{ m}$
চট্টগ্রামের একটি কারুশিল্প প্রদর্শনীতে বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজাকার (Cyclic quadrilateral) একটি পিতলের ফ্রেম $ABCD$ তৈরি করা হলো, যার বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য $AB = ১৫\text{ cm}$ , $BC = ২০\text{ cm}$ , $CD = ২৪\text{ cm}$ এবং $AD = ৭\text{ cm}$ । ফ্রেমটির একটি কর্ণ $AC = ২৫\text{ cm}$ হলে, টলেমির উপপাদ্য (Ptolemy's theorem) অনুসারে অপর কর্ণ $BD$ -এর দৈর্ঘ্য কত?
1. ক
  ২০ cm
2. খ
  ১৮.৭২ cm
3. গ
  ৮.৮ cm
4. ঘ
  ২৫ cm
উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর:
ক) ২০ cm
1. টলেমির উপপাদ্য অনুসারে, বৃত্তে অন্তর্লিখিত কোনো চতুর্ভুজের কর্ণদ্বয়ের অন্তর্গত আয়তক্ষেত্র তার বিপরীত বাহুদ্বয়ের অন্তর্গত আয়তক্ষেত্রের সমষ্টির সমান: $AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD$ ।
2. প্রদত্ত মান বসিয়ে পাই: $২৫ \times BD = (১৫ \times ২৪) + (২০ \times ৭) = ৩৬০ + ১৪০ = ৫০০$ ।
$25 \cdot BD = 360 + 140 = 500$
1. অতএব $BD = \frac{৫০০}{২৫} = ২০\text{ cm}$ ।
$BD = \frac{500}{25} = 20\text{ cm}$
কুমিল্লার একটি ঐতিহ্যবাহী কারুশিল্পে বৃত্তে অন্তর্লিখিত একটি চতুর্ভুজ $ABCD$ অঙ্কিত আছে, যার কর্ণদ্বয় $AC$ ও $BD$ পরস্পর লম্বভাবে $X$ বিন্দুতে ছেদ করে। $X$ বিন্দু থেকে $AB$ বাহুর ওপর অঙ্কিত লম্বকে বিপরীত দিকে বর্ধিত করায় তা বিপরীত বাহু $CD$ -কে $M$ বিন্দুতে ছেদ করে। $CD = ১৪\text{ cm}$ হলে, ব্রহ্মগুপ্তের উপপাদ্য (Brahmagupta's theorem) অনুসারে $CM$ -এর দৈর্ঘ্য কত?
1. ক
  ৭ cm
2. খ
  ১৪ cm
3. গ
  ৩.৫ cm
4. ঘ
  ৯.৩৩ cm
উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর:
ক) ৭ cm
1. ব্রহ্মগুপ্তের উপপাদ্য অনুসারে, বৃত্তে অন্তর্লিখিত কোনো চতুর্ভুজের কর্ণদ্বয় পরস্পর লম্ব হলে, তাদের ছেদবিন্দু থেকে যেকোনো বাহুর ওপর অঙ্কিত লম্ব বিপরীত বাহুকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
2. যেহেতু $X$ থেকে $AB$ -এর ওপর অঙ্কিত লম্বের বিপরীত বর্ধিতাংশ $CD$ বাহুকে $M$ বিন্দুতে ছেদ করে, তাই $M$ হলো $CD$ -এর মধ্যবিন্দু, অর্থাৎ $CM = MD$ ।
$CM = MD = \frac{1}{2} CD$
1. অতএব $CM = \frac{১}{২} \times ১৪\text{ cm} = ৭\text{ cm}$ ।
$CM = \frac{14}{2} = 7\text{ cm}$

এই টপিক নিয়ে প্রশ্ন আছে?

মেন্টরকে বাংলায় বা ইংরেজিতে জিজ্ঞেস করো, বা খাতার ছবি দাও। সিমুলেশন চালিয়ে বুঝিয়ে দেবে।

মেন্টরকে জিজ্ঞেস করো