ত্রিভুজের বাহু ও মধ্যমার সম্পর্ক (অ্যাপোলোনিয়াসের উপপাদ্য)
মান বদলাও, চালাও, আর দেখো কী ঘটে।
একটি ত্রিভুজাকার সীমানায় ভূমি BC = ৬ m যার মধ্যবিন্দু D (অর্থাৎ BD = ৩ m)। শীর্ষবিন্দু A শুরুতে (০, ৪) বিন্দুতে থাকায় মধ্যমা AD = ৪ m এবং দুই বাহুর বর্গের সমষ্টি AB² + AC² = ৫০। শীর্ষবিন্দু A-কে সরিয়ে (৩, ৪) অবস্থানে নিলে মধ্যমা বেড়ে AD = ৫ m হয়। তখন AB² + AC² এর সমষ্টি কত হবে?
শীর্ষবিন্দু A সরিয়ে মধ্যমা AD = ৫ m করলে AB² + AC² এর মান কত হবে?
- ৫০ — উচ্চতা অপরিবর্তিত থাকলে বাহুর বর্গের সমষ্টিও একই থাকে
- ৩৪ — মধ্যমা ও অর্ধভূমির বর্গের সাধারণ যোগফল: AD² + BD² = ৫² + ৩² = ৩৪
- ৬৮ — উপপাদ্যের সূত্রে ২ গুণ হবে: ২(AD² + BD²) = ২(২৫ + ৯) = ৬৮
যা বদলাতে পারবে
- শীর্ষ A এর x-স্থানাঙ্ক: −১০ থেকে ১০
- শীর্ষ A এর y-স্থানাঙ্ক: ১ থেকে ১০
যা মেপে দেখাবে
- মধ্যমা AD
- বাহুদ্বয়ের বর্গের সমষ্টি: AB² + AC²
- উপপাদ্যের মান: ২(AD² + BD²)
চালানোর সময় খেয়াল করো
- শীর্ষবিন্দু A-কে ডানে-বামে বা উপরে-নিচে সরাও। লক্ষ করো, A যেখানেই যাক না কেন AB² + AC² এবং ২(AD² + BD²) এর মান কি সর্বদা সমান থাকে?
নিজে করে দেখো
- শীর্ষ A এমন জায়গায় সরাও যাতে AB² + AC² = ৬৮ হয়।
ইঙ্গিত
৬৮ = ২(AD² + ৯) হলে AD কত? মধ্যবিন্দু D থেকে সেই দূরত্বে A রাখো।
- A এমন জায়গায় রাখো যাতে ∠A সমকোণ হয়। তখন মধ্যমা AD আর BD-এর মধ্যে কী সম্পর্ক দেখছ?
ইঙ্গিত
সমকোণী ত্রিভুজে অতিভুজের মধ্যবিন্দু তিন শীর্ষ থেকে সমান দূরে থাকে।
ধারণাটা কী?আগে নিজে চালিয়ে দেখো, তারপর খোলো।
অ্যাপোলোনিয়াসের উপপাদ্য
যেকোনো ত্রিভুজের যেকোনো দুই বাহুর ওপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের সমষ্টি, তৃতীয় বাহুর অর্ধেকের ওপর বর্গক্ষেত্র এবং ঐ বাহুর সমদ্বিখণ্ডক মধ্যমার ওপর বর্গক্ষেত্রের সমষ্টির দ্বিগুণ। শীর্ষবিন্দু A যেখানেই সরানো হোক না কেন, মধ্যমা AD এবং বাহু দুটির বর্গের যোগফলের মধ্যে এই সম্পর্ক সর্বদা বজায় থাকে।
অন্য উত্তরগুলো কেন ভুল
শীর্ষের উচ্চতা একই রেখে শীর্ষবিন্দুকে ডানে বা বামে সরালে মধ্যমার দৈর্ঘ্য পরিবর্তিত হয়, ফলে বাহু দুটির বর্গের সমষ্টিও বদলে যায়। আর উপপাদ্য অনুযায়ী মধ্যমা ও অর্ধভূমির বর্গের সমষ্টিকে অবশ্যই ২ দিয়ে গুণ করতে হবে — শুধু যোগ করলে হবে না। এখানে ২(৫² + ৩²) = ২(২৫ + ৯) = ৬৮।
যেসব ভুল ধারণা হয়
- শীর্ষবিন্দুর উচ্চতা একই থাকলে ত্রিভুজের দুই বাহুর বর্গের সমষ্টি অপরিবর্তিত থাকে
- দুই বাহুর বর্গের সমষ্টি মধ্যমা ও অর্ধভূমির বর্গের সমষ্টির সমান, দ্বিগুণ নয়
বাস্তবে কোথায় দেখা যায়
- বাড়ি ও গুদামের ত্রিভুজাকার ছাদের ট্রাস (টিনের চালা) ও ব্রিজ কাঠামোয় মধ্যবর্তী খুঁটি বা তারের দৈর্ঘ্য ও ভারসাম্য নির্ণয়ে
- ভূমি জরিপে নদী বা খালের বাঁকে ত্রিভুজাকার জমির সীমানা ও মধ্যরেখা মেপে নিখুঁত নকশা তৈরিতে