খালের পাড়ে হেলানো বাঁশের লম্ব অভিক্ষেপ
মান বদলাও, চালাও, আর দেখো কী ঘটে।
একটি খালের পাড়ে B(−৪, ০) বিন্দু এবং খালের কিনারায় C(২, ০) বিন্দুতে একটি বাঁশ CA তীর্যকভাবে পানির দিকে হেলে আছে। দুপুরে খাড়া সূর্যের আলোয় ভূমির বর্ধিতাংশের ওপর বাঁশটির ছায়া বা লম্ব অভিক্ষেপ পড়ে CD। A বিন্দুর অবস্থান (৬, ৩) হলে ∠C একটি স্থূলকোণ। এখানে BC = ৬ ও CA = ৫ হওয়ায় BC² + CA² = ৬১। স্থূলকোণ C এর বিপরীত বাহুর বর্গ AB² এর মান BC² + CA² এর তুলনায় কেমন হবে?
∠C স্থূলকোণ হলে AB² এর মান BC² + CA² এর তুলনায় কেমন হবে?
- বৃহত্তর: ২·BC·CD পরিমাণ বেশি, অর্থাৎ AB² = BC² + CA² + ২·BC·CD = ১০৯
- সমান: পিথাগোরাসের উপপাদ্য সব ত্রিভুজেই খাটে, তাই AB² = BC² + CA² = ৬১
- ক্ষুদ্রতর: স্থূলকোণ প্রসারিত হওয়ায় বিপরীত বাহুর বর্গ সন্নিহিত দুই বাহুর বর্গের সমষ্টির চেয়ে ছোট
যা বদলাতে পারবে
- শীর্ষ A এর x-স্থানাঙ্ক: −১০ থেকে ১০
- শীর্ষ A এর y-স্থানাঙ্ক: ১ থেকে ১০
যা মেপে দেখাবে
- কোণ ∠C (°)
- লম্ব অভিক্ষেপ CD
- বিপরীত বাহুর বর্গ: AB²
- বিস্তৃত উপপাদ্য: BC² + CA² + ২·BC·CD
চালানোর সময় খেয়াল করো
- শীর্ষবিন্দু A-কে ডানে সরিয়ে লম্ব অভিক্ষেপ CD কীভাবে বদলায় তা দেখো। AB² আর BC² + CA² + ২·BC·CD কি সর্বদা মিলে যায়?
নিজে করে দেখো
- শীর্ষবিন্দু A-কে এমন অবস্থানে বসাও যাতে লম্ব অভিক্ষেপ CD ঠিক ৩ হয়।
ইঙ্গিত
C বিন্দুর x-স্থানাঙ্ক ২। লম্ব অভিক্ষেপ CD = ৩ হতে হলে শীর্ষ A এর x-স্থানাঙ্ক কত হতে হবে?
- শীর্ষবিন্দু A-কে এমন স্থানে বসাও যাতে ∠C ঠিক ৯০° হয় এবং বাড়তি পদ ২·BC·CD বিলুপ্ত হয়ে মূল পিথাগোরাস সূত্র ফিরে আসে।
ইঙ্গিত
বাঁশটি খালের পাড়ের ওপর খাড়াভাবে দণ্ডায়মান হলে ∠C সমকোণ হবে এবং লম্ব অভিক্ষেপ শূন্য হবে।
ধারণাটা কী?আগে নিজে চালিয়ে দেখো, তারপর খোলো।
স্থূলকোণী ত্রিভুজে পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিস্তৃতি ও লম্ব অভিক্ষেপ
কোনো নির্দিষ্ট সরলরেখার ওপর কোনো রেখাংশের লম্ব অভিক্ষেপ হলো রেখাংশটির প্রান্তবিন্দুদ্বয় থেকে উক্ত রেখার ওপর অঙ্কিত লম্বদ্বয়ের পাদবিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব। এখানে ভূমির বর্ধিতাংশের ওপর হেলানো বাঁশ CA এর লম্ব অভিক্ষেপ CD। স্থূলকোণী ত্রিভুজ ABC এর স্থূলকোণ ∠C এর বিপরীত বাহুর ওপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্র ঐ কোণের সন্নিহিত অন্য দুই বাহুর ওপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের এবং ঐ দুই বাহুর যেকোনো একটি ও তার ওপর অপর বাহুর লম্ব অভিক্ষেপের অন্তর্গত আয়তক্ষেত্রের দ্বিগুণের সমষ্টির সমান, অর্থাৎ AB² = BC² + CA² + ২·BC·CD।
অন্য উত্তরগুলো কেন ভুল
পিথাগোরাসের উপপাদ্য শুধু সমকোণী ত্রিভুজের জন্য প্রযোজ্য যেখানে CD = ০। কোণটি সমকোণ (৯০°) থেকে বড় হয়ে স্থূলকোণ হলে বিপরীত বাহু AB অনেক প্রসারিত হয়। তাই AB² এর মান BC² + CA² এর সমান বা ছোট হতে পারে না; এটি সর্বদা ঠিক ২·BC·CD পরিমাণ বেশি হয়।
যেসব ভুল ধারণা হয়
- পিথাগোরাসের উপপাদ্য সমকোণী ত্রিভুজ ছাড়াও যেকোনো ত্রিভুজে সরাসরি প্রযোজ্য
- স্থূলকোণী ত্রিভুজে স্থূলকোণের বিপরীত বাহুর ওপর অঙ্কিত বর্গ অপর দুই বাহুর বর্গের সমষ্টি অপেক্ষা ছোট
বাস্তবে কোথায় দেখা যায়
- নদী বা খালের পাড়ে তীর্যকভাবে বাঁশের সাঁকো ও জেটি নির্মাণের সময় খুঁটির ছায়া ও বলের অনুভূমিক বিস্তার নির্ণয়ে
- হাওর বা চরাঞ্চলে ঝড়-বাতাস প্রতিরোধী ঢালু ঘরের চালা ও খুঁটির কাঠামোগত ভারসাম্য ও কর্ণের দৈর্ঘ্য পরিমাপে