সম্ভাবনা

বাক্সে মোট বলের সংখ্যা $n(S) = ৬ + ৮ + ১০ = ২৪$। বাক্সে লাল বলের সংখ্যা ৬টি, সুতরাং লাল নয় এমন বলের সংখ্যা (সাদা ও সবুজ) $= ৮ + ১০ = ১৮$টি। অতএব, দৈবভাবে একটি বল তুললে বলটি লাল না হওয়ার সম্ভাবনা $P(\text{লাল নয়}) = \frac{১৮}{২৪} = \frac{৩}{৪}$। (বিকল্পভাবে: লাল হওয়ার সম্ভাবনা $P(\text{লাল}) = \frac{৬}{২৪} = \frac{১}{৪}$, সুতরাং লাল না হওয়ার সম্ভাবনা $= ১ - \frac{১}{৪} = \frac{৩}{৪}$)।

মুদ্রাটির ১ম নিক্ষেপে দুটি শাখা: H ও T। ২য় নিক্ষেপে প্রতি শাখা থেকে আরও দুটি শাখা বিস্তার করে পাই: HH, HT, TH, TT। ৩য় নিক্ষেপে প্রতিটি প্রান্ত থেকে পুনরায় দুটি শাখা (H ও T) বিস্তার করলে মোট ৮টি প্রান্তিক ফলাফল গঠিত হয়। সম্ভাবনা বৃক্ষের শেষ প্রান্তসমূহ থেকে প্রাপ্ত নমুনা ক্ষেত্রটি হলো: $S = \{HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\}$। এখানে মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যা $n(S) = ৮$।

নমুনা ক্ষেত্রে মোট ফলাফল সংখ্যা $n(S) = ৮$। 'অনূর্ধ্ব দুইটি হেড' অর্থাৎ সর্বাধিক ২টি হেড (০, ১ বা ২টি হেড) আসার অনুকূল ফলাফলসমূহ: $\{HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\}$ (শুধুমাত্র HHH ব্যতীত)। অনুকূল ফলাফল সংখ্যা $= ৭$। অতএব $P(\text{অনূর্ধ্ব ২টি হেড}) = \frac{৭}{৮}$। আবার, 'কমপক্ষে একটি টেল' (১, ২ বা ৩টি টেল) আসার অনুকূল ফলাফলসমূহ: $\{HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\}$ (শুধুমাত্র HHH ব্যতীত)। অনুকূল ফলাফল সংখ্যা $= ৭$। অতএব $P(\text{কমপক্ষে ১টি টেল}) = \frac{৭}{৮}$। যেহেতু উভয় ক্ষেত্রেই সম্ভাবনা $\frac{৭}{৮}$, তাই ঘটনা দুটির সম্ভাবনা পরস্পর সমান। মুদ্রাটি ১ বার নিক্ষেপে ফলাফল $২ = ২^১$টি, ২ বার নিক্ষেপে ফলাফল ৪ = $২^২$টি এবং ৩ বার নিক্ষেপে ফলাফল ৮ = $২^৩$টি। প্রতিটি নিক্ষেপে সম্ভাব্য ফলাফল ২টি হওয়ায় $n$ বার নিক্ষেপে মোট সম্ভাব্য ফলাফল হবে $২ \times ২ \times \dots \times ২$ ($n$ সংখ্যক বার) $= ২^n$। সুতরাং পরীক্ষাটি $২^n$ সূত্রকে সমর্থন করে।