offSchoolবেটা

উচ্চতর গণিত · অধ্যায় ১৪ · টপিক ১

সম্ভাবনা ও এর ব্যবহার

  • সম্ভাবনার ধারণা
  • নিশ্চিত ঘটনা, অসম্ভব ঘটনা, সম্ভাব্য ঘটনা
  • একই ঘটনা অনূর্ধ্ব তিনবার পুনরাবৃত্তি ঘটলে ফলাফল নির্ণয় (মুদ্রা ও ছক্কার সাহায্যে)
  • সহজ ও বাস্তবভিত্তিক সমস্যার সমাধান
  • সহজ ও বাস্তবভিত্তিক সমস্যার সমাধান
চালিয়ে দেখো এই অধ্যায় অনুশীলন করো

পড়ার নোট

কোনো ঘটনা ঘটবে কি না নিয়ে সন্দেহ থাকলে আমরা সম্ভাবনার কথা বলি। গণিতে এই সম্ভাবনাকে একটি সংখ্যা দিয়ে প্রকাশ করা হয়।

মূল শব্দ

  • দৈব পরীক্ষা: সম্ভাব্য সব ফলাফল জানা থাকে, কিন্তু একটি নির্দিষ্ট চেষ্টায় কোনটি আসবে আগে বলা যায় না, যেমন ছক্কা নিক্ষেপ।
  • ঘটনা: পরীক্ষার একটি ফলাফল বা কয়েকটি ফলাফলের সমষ্টি, যেমন ছক্কায় জোড় সংখ্যা পাওয়া।
  • সমসম্ভাব্য ঘটনা: সব ফলাফলের ঘটার সুযোগ সমান, যেমন নিরপেক্ষ মুদ্রায় হেড বা টেল।
  • পরস্পর বিচ্ছিন্ন ঘটনা: একটি ঘটলে অন্যটি ঘটতে পারে না, যেমন হেড ও টেল।
  • অনুকূল ফলাফল: যে ফলাফলগুলো আমাদের কাঙ্ক্ষিত ঘটনার পক্ষে যায়।
  • নমুনাক্ষেত্র SS: সব সম্ভাব্য ফলাফলের সেট; এর প্রতিটি সদস্য একটি নমুনা বিন্দু। যেমন দুই মুদ্রায় S={HH,HT,TH,TT}S=\{HH,HT,TH,TT\}।

সূত্র (যুক্তিভিত্তিক সম্ভাবনা)

P=ঘটনার অনুকূল ফলাফলের সংখ্যামোট সম্ভাব্য ফলাফলের সংখ্যাP=\frac{\text{ঘটনার অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা}}{\text{মোট সম্ভাব্য ফলাফলের সংখ্যা}}

অনুকূল ফলাফল ০ থেকে nn পর্যন্ত হতে পারে, তাই 0≤P≤10\le P\le1।

বিশেষ ঘটনা: নিশ্চিত ঘটনা অবশ্যই ঘটে, এর সম্ভাবনা 11 (যেমন কাল সূর্য পূর্বে ওঠা, মুদ্রায় HH বা TT আসা)। অসম্ভব ঘটনা কখনো ঘটে না, এর সম্ভাবনা 00 (যেমন ছক্কায় ৭ আসা)। এ দুইয়ের মাঝের ঘটনাগুলো সম্ভাব্য ঘটনা।

উপাত্তভিত্তিক সম্ভাবনা: ফলাফল সমসম্ভাব্য না হলে পুরনো তথ্য দেখে সম্ভাবনা ঠিক করা হয়। যেমন গত জুলাইয়ে ৩১ দিনের মধ্যে ২১ দিন বৃষ্টি হলে এ বছর জুলাইয়ের একটি দিনে বৃষ্টির সম্ভাবনা 2131\frac{21}{31}। পরীক্ষা যত বেশিবার করা হয়, এ মান তত সঠিক হয়।

একাধিকবার নিক্ষেপ ও probability tree: মুদ্রা বা ছক্কা পরপর নিক্ষেপকে ধাপে ধাপে গাছের শাখার মতো এঁকে সব ফলাফল পাওয়া যায়। তিনবার মুদ্রা নিক্ষেপে 2×2×2=82\times2\times2=8টি নমুনা বিন্দু: {HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT}\{HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT\}। একটি ছক্কা ও একটি মুদ্রায় 6×2=126\times2=12টি।

উদাহরণ: একটি নিরপেক্ষ মুদ্রা তিনবার নিক্ষেপ করলে ঠিক দুটি হেড পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

  • মোট নমুনা বিন্দু =8=8
  • ঠিক দুই HH: HHT, HTH, THHHHT,\,HTH,\,THH, অর্থাৎ ৩টি
  • P=38P=\frac38
  • অন্তত একটি HH ধরলে HHHHHH-সহ TTTTTT ছাড়া সব, তাই P=78P=\frac78

আলাদা দুটি ধাপের সম্ভাবনা দেওয়া থাকলে শাখা বরাবর গুণ করো। যেমন বাসে যাওয়ার সম্ভাবনা 25\frac25 এবং পরে ট্রেনে না যাওয়ার সম্ভাবনা 38\frac38 হলে দুটোই ঘটার সম্ভাবনা 25×38=320\frac25\times\frac38=\frac{3}{20}।

মনে রাখো: সম্ভাবনা == অনুকূল ফলাফল ÷\div মোট ফলাফল, এর মান ০ থেকে ১; নিশ্চিত ঘটনার ১, অসম্ভবের ০।

২০২৬ সালের NCTB পাঠ্যবই অনুসরণ করে লেখা।

চালিয়ে দেখো

  • মুদ্রা নিক্ষেপ: সম্ভাবনা বনাম আপেক্ষিক গণসংখ্যাচালিয়ে দেখো

    একটি বিদ্যালয়ের বার্ষিক ক্রীড়া প্রতিযোগিতায় ক্রিকেটের টস করার জন্য একটি নিরপেক্ষ মুদ্রা বেছে নেওয়া হলো। মুদ্রাটিতে একবার টস করলে হেড (H) আসার তাত্ত্বিক সম্ভাবনা ০.৫ (বা ১/২)। ক্লাসের আবির বলল, 'যেহেতু সম্ভাবনা ০.৫, তাই মুদ্রাটি ১০ বার টস করলে নিশ্চিতভাবেই ঠিক ৫ বার হেড আসবে।' রাফি বলল, '১০ বারে সবসময় ঠিক ৫ বার নাও আসতে পারে, তবে টসের সংখ্যা বাড়িয়ে ১০০০ বার করলে হেডের আপেক্ষিক গণসংখ্যা ০.৫ এর খুব কাছাকাছি হবে।' ১০ বার এবং ১০০০ বার টস করলে ফলাফলের ক্ষেত্রে কোনটি ঘটবে?

  • লুডুর দুই ছক্কা: কোন যোগফল সবচেয়ে বেশি আসে?চালিয়ে দেখো

    ছুটির বিকেলে বন্ধুদের সাথে লুডু খেলা চলছে। চালের সুবিধার জন্য দুটি ছক্কা একসাথে গড়িয়ে দেওয়া হলো। গুটি দ্রুত ঘরে তোলার জন্য খেলোয়াড়রা লক্ষ্য করল, দুটি ছক্কার ফোঁটা যোগ করলে একেকবার একেক যোগফল আসে। একজন বলল, ২ থেকে ১২ পর্যন্ত যেকোনো যোগফল আসার সম্ভাবনা সমান। অন্যজন বলল, ১২ যেহেতু সবচেয়ে বড় সংখ্যা, তাই ১২-ই সবচেয়ে বেশি বার আসবে। আসলেই কি সব যোগফল সমানভাবে আসে, নাকি কোনো একটি নির্দিষ্ট যোগফল আসার সম্ভাবনা সবচেয়ে বেশি?

অনুশীলনের প্রশ্ন

  1. মিরপুর শের-ই-বাংলা জাতীয় ক্রিকেট স্টেডিয়ামে একটি আন্তর্জাতিক টি-টোয়েন্টি ম্যাচের শুরুতে টসের জন্য একটি নিরপেক্ষ ১ টাকার মুদ্রা একবার নিক্ষেপ করা হলো। মুদ্রার উপরের পিঠে হেড (Head) অথবা টেল (Tail) আসার নিশ্চিত ঘটনার (certain event) সম্ভাবনা কত?

    1. ক

      ০

    2. খ

      ০.৫

    3. গ

      ১

    4. ঘ

      ২

    উত্তর ও ব্যাখ্যা
    সঠিক উত্তর:

    গ) ১

    1. একটি মুদ্রা একবার নিক্ষেপের নমুনা ক্ষেত্র হলো S={H,T}S = \{H, T\}, যেখানে সমগ্র সম্ভাব্য ফলাফল সংখ্যা n(S)=২n(S) = ২।
    S={H,T},n(S)=2S = \{H, T\}, \quad n(S) = 2
    1. হেড অথবা টেল আসার ঘটনা E={H,T}E = \{H, T\}, যার অনুকূল ফলাফল সংখ্যা n(E)=২n(E) = ২।
    E={H,T},n(E)=2E = \{H, T\}, \quad n(E) = 2
    1. অতএব, সম্ভাবনার সংজ্ঞানুসারে P(E)=n(E)n(S)=২২=১P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{২}{২} = ১। যে ঘটনা নিশ্চিতভাবে ঘটে তার সম্ভাবনা সর্বদাই ১ হয়।
    P(E)=22=1P(E) = \frac{2}{2} = 1

  2. চট্টগ্রামের একটি বিদ্যালয়ের বার্ষিক ক্রীড়া প্রতিযোগিতায় দুটি নিরপেক্ষ ১ টাকার মুদ্রা একসাথে একবার টস করা হলো। মুদ্রা দুটিতে অন্তত একটি হেড (at least one Head) পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

    1. ক

      ১৪\frac{১}{৪}

    2. খ

      ১২\frac{১}{২}

    3. গ

      ২৩\frac{২}{৩}

    4. ঘ

      ৩৪\frac{৩}{৪}

    উত্তর ও ব্যাখ্যা
    সঠিক উত্তর:

    ঘ) ৩৪\frac{৩}{৪}

    1. দুটি মুদ্রা একত্রে নিক্ষেপ করলে মোট সম্ভাব্য ফলাফল নিয়ে গঠিত নমুনা ক্ষেত্র S={HH,HT,TH,TT}S = \{HH, HT, TH, TT\}, সুতরাং n(S)=৪n(S) = ৪।
    S={HH,HT,TH,TT},n(S)=4S = \{HH, HT, TH, TT\}, \quad n(S) = 4
    1. 'অন্তত একটি হেড' বলতে ১টি অথবা ২টি হেড বোঝায়। অনুকূল ফলাফলসমূহ হলো {HH,HT,TH}\{HH, HT, TH\}, সুতরাং অনুকূল ফলাফল সংখ্যা n(E)=৩n(E) = ৩।
    E={HH,HT,TH},n(E)=3E = \{HH, HT, TH\}, \quad n(E) = 3
    1. অতএব, নির্ণেয় সম্ভাবনা P(E)=n(E)n(S)=৩৪P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{৩}{৪}।
    P(E)=34P(E) = \frac{3}{4}

  3. বগুড়ার একটি গ্রামীণ বীজ ভাণ্ডারে ১ থেকে ২৫ পর্যন্ত ক্রমিক নম্বর চিহ্নিত ২৫টি উন্নত জাতের ধানের বীজের প্যাকেট একটি বাক্সে রাখা হলো। বাক্সটি থেকে দৈবভাবে (randomly) একটি প্যাকেট তোলা হলে, প্যাকেটের নম্বরটি ৩ দ্বারা বিভাজ্য অথবা ৫ দ্বারা বিভাজ্য হওয়ার সম্ভাবনা কত?

    1. ক

      ১২৫\frac{১}{২৫}

    2. খ

      ৮২৫\frac{৮}{২৫}

    3. গ

      ১২২৫\frac{১২}{২৫}

    4. ঘ

      ১৩২৫\frac{১৩}{২৫}

    উত্তর ও ব্যাখ্যা
    সঠিক উত্তর:

    গ) ১২২৫\frac{১২}{২৫}

    1. সমগ্র সম্ভাব্য ফলাফল সংখ্যা n(S)=২৫n(S) = ২৫।
    n(S)=25n(S) = 25
    1. ১ থেকে ২৫-এর মধ্যে ৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাসমূহ: {৩,৬,৯,১২,১৫,১৮,২১,২৪}\{৩, ৬, ৯, ১২, ১৫, ১৮, ২১, ২৪\} (মোট ৮টি)। ৫ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাসমূহ: {৫,১০,১৫,২০,২৫}\{৫, ১০, ১৫, ২০, ২৫\} (মোট ৫টি)।
    2. উভয় সংখ্যা (৩ ও ৫) দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা হলো ১৫ (১টি)। সুতরাং ৩ অথবা ৫ দ্বারা বিভাজ্য অনুকূল ফলাফল সংখ্যা =৮+৫−১=১২= ৮ + ৫ - ১ = ১২টি।
    n(A∪B)=8+5−1=12n(A \cup B) = 8 + 5 - 1 = 12
    1. অতএব, নির্ণেয় সম্ভাবনা P=১২২৫P = \frac{১২}{২৫}।
    P=1225P = \frac{12}{25}

এই টপিক নিয়ে প্রশ্ন আছে?

মেন্টরকে বাংলায় বা ইংরেজিতে জিজ্ঞেস করো, বা খাতার ছবি দাও। সিমুলেশন চালিয়ে বুঝিয়ে দেবে।

মেন্টরকে জিজ্ঞেস করো