কঠিন পদার্থের ক্ষেত্রে দৈর্ঘ্য প্রসারণ সহগ α, ক্ষেত্র প্রসারণ সহগ β এবং আয়তন প্রসারণ সহগ γ হলে তাদের অনুপাত α : β : γ কত?

সঠিক উত্তর: ক) ১ : ২ : ৩। কঠিন পদার্থের ক্ষেত্র প্রসারণ সহগ β = ২α এবং আয়তন প্রসারণ সহগ γ = ৩α। অতএব সহগগুলোর পারস্পরিক অনুপাত α : β : γ = α : ২α : ৩α = ১ : ২ : ৩।

পদ্মা সেতু সংযোগ রেললাইনে ব্যবহৃত একটি ইস্পাতের রেললাইনের তাপমাত্রা শীতের সকালে ২০°C এবং গ্রীষ্মের দুপুরে ৫০°C। ২০°C তাপমাত্রায় রেললাইনটির আদি দৈর্ঘ্য ১০০ m হলে, ৫০°C তাপমাত্রায় এর দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি কত মিটার হবে? (ইস্পাতের দৈর্ঘ্য প্রসারণ সহগ α = ১.২ × ১০⁻⁵ K⁻¹)

সঠিক উত্তর: ০.০৩৬ m। দৈর্ঘ্য প্রসারণের সূত্র: ΔL = L₁ α (T₂ − T₁)। এখানে আদি দৈর্ঘ্য L₁ = ১০০ m, আদি তাপমাত্রা T₁ = ২০°C এবং চূড়ান্ত তাপমাত্রা T₂ = ৫০°C। তাপমাত্রার বৃদ্ধি ΔT = ৫০ − ২০ = ৩০°C = ৩০ K। মান বসিয়ে পাই, ΔL = ১০০ × (১.২ × ১০⁻⁵) × ৩০ = ০.০৩৬ m।

একটি ধাতব দণ্ডের প্রাথমিক দৈর্ঘ্য 2 m এবং দৈর্ঘ্য প্রসারণ সহগ 12×10⁻⁶ K⁻¹। দণ্ডটির তাপমাত্রা 50 K বৃদ্ধি করলে দৈর্ঘ্য কতটুকু বাড়বে?

সঠিক উত্তর: গ) 1.2 mm। দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি নির্ণয়ে প্রাথমিক দৈর্ঘ্য, দৈর্ঘ্য প্রসারণ সহগ ও তাপমাত্রা বৃদ্ধির গুণফল নিতে হবে। মান বসিয়ে দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি পাওয়া যায়।

পদার্থবিজ্ঞান · অধ্যায় ৬ · টপিক ৬

কঠিন পদার্থের দৈর্ঘ্য, ক্ষেত্রফল এবং আয়তন সম্প্রসারণ

চালিয়ে দেখো এই অধ্যায় অনুশীলন করো

পড়ার নোট

তাপ দিলে কঠিন পদার্থের অণুগুলোর কম্পন বাড়ে এবং তাদের গড় দূরত্ব কিছুটা বেড়ে যায়। ফলে বস্তুর দৈর্ঘ্য, ক্ষেত্রফল ও আয়তন বাড়ে। সব দিকে একইভাবে প্রসারিত হওয়া কঠিনের জন্য তিনটি প্রসারণ সহগ ব্যবহার করা হয়। একইভাবে প্রসারিত হওয়া বলতে একই অনুপাতে বৃদ্ধি বোঝায়, সব মাত্রায় সমান পরিমাণ বৃদ্ধি নয়।

প্রতি কেলভিন তাপমাত্রা বৃদ্ধিতে প্রাথমিক দৈর্ঘ্যের যে ভগ্নাংশ বৃদ্ধি পায়, সেটি দৈর্ঘ্য প্রসারণ সহগ। একইভাবে প্রাথমিক ক্ষেত্রফল ও আয়তনের ভগ্নাংশ বৃদ্ধিকে যথাক্রমে ক্ষেত্রফল প্রসারণ সহগ এবং আয়তন প্রসারণ সহগ দিয়ে প্রকাশ করা হয়।

$\alpha=\frac{L_2-L_1}{L_1(T_2-T_1)}$ , $L_2=L_1+\alpha L_1(T_2-T_1)$ ।

$\beta=\frac{A_2-A_1}{A_1(T_2-T_1)}$ , $A_2=A_1+\beta A_1(T_2-T_1)$ ।

$\gamma=\frac{V_2-V_1}{V_1(T_2-T_1)}$ , $V_2=V_1+\gamma V_1(T_2-T_1)$ ।

এখানে $L_1,L_2$ প্রাথমিক ও শেষ দৈর্ঘ্য, SI একক মিটার; $A_1,A_2$ ক্ষেত্রফল, একক $\mathrm{m^2}$ ; $V_1,V_2$ আয়তন, একক $\mathrm{m^3}$ । $T_1,T_2$ প্রাথমিক ও শেষ তাপমাত্রা, একক কেলভিন। $\alpha,\beta,\gamma$ যথাক্রমে তিনটি সহগ, প্রত্যেকটির SI একক $\mathrm{K^{-1}}$ ।

ক্ষেত্রফল দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের গুণফল, আর আয়তন তিন মাত্রার গুণফল। ক্ষুদ্র প্রসারণে গুণফল বিস্তারের উচ্চতর ঘাতযুক্ত পদ উপেক্ষা করলে $\beta=2\alpha$ এবং $\gamma=3\alpha$ পাওয়া যায়। অর্থাৎ দৈর্ঘ্য প্রসারণ সহগ জানা থাকলেই অন্য দুটি নির্ণয় করা যায়।

উদাহরণ: ৪ মিটার তামার দণ্ডকে $25^\circ\mathrm{C}$ থেকে $75^\circ\mathrm{C}$ করা হলো। তামার জন্য $\alpha=16.7\times10^{-6}\ \mathrm{K^{-1}}$ ।

তাপমাত্রা বৃদ্ধি $T_2-T_1=50\ \mathrm{K}$ । সেলসিয়াস ও কেলভিনে তাপমাত্রার পার্থক্যের সংখ্যামান সমান।
দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি $L_2-L_1=16.7\times10^{-6}\times4\times50\ \mathrm{m}=0.00334\ \mathrm{m}$ ।
শেষ দৈর্ঘ্য $L_2=4+0.00334=4.00334\ \mathrm{m}$ ।

বাংলাদেশের রেললাইনের জোড়ায় ফাঁক রাখার কারণ উত্তপ্ত দিনে রেলকে প্রসারিত হওয়ার সুযোগ দেওয়া। সুযোগ না থাকলে রেল বেঁকে যেতে পারে। দাঁতের গর্ত ভরাটের পদার্থের প্রসারণ সহগ দাঁতের কাছাকাছি হওয়া দরকার। কাচের বিভিন্ন অংশ অসমভাবে প্রসারিত হলে গরম পানি ঢালায় কাচ ফাটতে পারে। প্রসারণে ভর অপরিবর্তিত থাকলেও আয়তন বাড়ায় ঘনত্ব কমে।

সাধারণ ভুল হলো দৈর্ঘ্য বৃদ্ধিকেই শেষ দৈর্ঘ্য ধরে নেওয়া, কিংবা তাপমাত্রার বৃদ্ধির বদলে শেষ তাপমাত্রা বসানো।

মনে রাখো: প্রসারণ নির্ভর করে প্রাথমিক মাপ, উপযুক্ত সহগ এবং তাপমাত্রার পরিবর্তনের ওপর।

২০২৬ সালের NCTB পাঠ্যবই অনুসরণ করে লেখা।

চালিয়ে দেখো

রেললাইনের ফাঁক ও তাপীয় প্রসারণচালিয়ে দেখো
ঈশ্বরদীর কাছে শীতকালে ১৫ °C তাপমাত্রায় ১২ m দৈর্ঘ্যের ইস্পাতের রেললাইন বসানো হলো। বৈশাখের চড়া রোদে সেই রেললাইনের তাপমাত্রা বেড়ে ৬০ °C পর্যন্ত পৌঁছায়। লাইনের দুটি পাতের সংযোগস্থলে কতটুকু ফাঁক রাখা প্রয়োজন?

অনুশীলনের প্রশ্ন

কঠিন পদার্থের ক্ষেত্রে দৈর্ঘ্য প্রসারণ সহগ α, ক্ষেত্র প্রসারণ সহগ β এবং আয়তন প্রসারণ সহগ γ হলে তাদের অনুপাত α : β : γ কত?
1. ক
  ১ : ২ : ৩
2. খ
  ৩ : ২ : ১
3. গ
  ১ : ৪ : ৯
4. ঘ
  ৬ : ৩ : ২
উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর:
ক) ১ : ২ : ৩
1. কঠিন পদার্থের ক্ষেত্র প্রসারণ সহগ β = ২α এবং আয়তন প্রসারণ সহগ γ = ৩α।
$\beta = 2\alpha, \quad \gamma = 3\alpha$
1. অতএব সহগগুলোর পারস্পরিক অনুপাত α : β : γ = α : ২α : ৩α = ১ : ২ : ৩।
পদ্মা সেতু সংযোগ রেললাইনে ব্যবহৃত একটি ইস্পাতের রেললাইনের তাপমাত্রা শীতের সকালে ২০°C এবং গ্রীষ্মের দুপুরে ৫০°C। ২০°C তাপমাত্রায় রেললাইনটির আদি দৈর্ঘ্য ১০০ m হলে, ৫০°C তাপমাত্রায় এর দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি কত মিটার হবে? (ইস্পাতের দৈর্ঘ্য প্রসারণ সহগ α = ১.২ × ১০⁻⁵ K⁻¹)
উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর:
০.০৩৬ m
1. দৈর্ঘ্য প্রসারণের সূত্র: ΔL = L₁ α (T₂ − T₁)।
$\Delta L = L_1 \alpha (T_2 - T_1)$
1. এখানে আদি দৈর্ঘ্য L₁ = ১০০ m, আদি তাপমাত্রা T₁ = ২০°C এবং চূড়ান্ত তাপমাত্রা T₂ = ৫০°C। তাপমাত্রার বৃদ্ধি ΔT = ৫০ − ২০ = ৩০°C = ৩০ K।
2. মান বসিয়ে পাই, ΔL = ১০০ × (১.২ × ১০⁻⁵) × ৩০ = ০.০৩৬ m।
$\Delta L = 100 \times 1.2 \times 10^{-5} \times 30 = 0.036 \text{ m}$
একটি ধাতব দণ্ডের প্রাথমিক দৈর্ঘ্য $2\,\mathrm{m}$ এবং দৈর্ঘ্য প্রসারণ সহগ $12\times10^{-6}\,\mathrm{K^{-1}}$ । দণ্ডটির তাপমাত্রা $50\,\mathrm{K}$ বৃদ্ধি করলে দৈর্ঘ্য কতটুকু বাড়বে?
1. ক
  $0.12\,\mathrm{mm}$
2. খ
  $12\,\mathrm{mm}$
3. গ
  $1.2\,\mathrm{mm}$
4. ঘ
  $2.4\,\mathrm{mm}$
উত্তর ও ব্যাখ্যা
সঠিক উত্তর:
গ) $1.2\,\mathrm{mm}$
1. দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি নির্ণয়ে প্রাথমিক দৈর্ঘ্য, দৈর্ঘ্য প্রসারণ সহগ ও তাপমাত্রা বৃদ্ধির গুণফল নিতে হবে।
$\Delta L=L_0\alpha\Delta T$
1. মান বসিয়ে দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি পাওয়া যায়।
$\Delta L=2\times12\times10^{-6}\times50=0.0012\,\mathrm{m}=1.2\,\mathrm{mm}$

এই টপিক নিয়ে প্রশ্ন আছে?

মেন্টরকে বাংলায় বা ইংরেজিতে জিজ্ঞেস করো, বা খাতার ছবি দাও। সিমুলেশন চালিয়ে বুঝিয়ে দেবে।

মেন্টরকে জিজ্ঞেস করো