বাজেট ও অসমতার সমাধান অঞ্চল
মান বদলাও, চালাও, আর দেখো কী ঘটে।
একটি দোকানে প্রতিটি কলমের দাম ২০ টাকা এবং প্রতিটি খাতার দাম ৪০ টাকা। তোমার কাছে মোট ২০০ টাকা আছে। x-টি কলম ও y-টি খাতা কেনার বাজেট অসমতাটি হলো ২০x + ৪০y ≤ ২০০। উভয়পক্ষকে ২০ দ্বারা ভাগ করে সরল সমতুল্য অসমতাটি পাই: x + ২y ≤ ১০ (a = ১, b = ২, c = ১০)। শুরুতে তুমি ২টি কলম ও ২টি খাতা নেওয়ার পরিকল্পনা করেছ (px = ২, py = ২, যেখানে x + ২y = ৬ ≤ ১০, অর্থাৎ খরচ ১২০ টাকা, যা বাজেটের মধ্যে আছে)। এখন তুমি যদি ৫টি কলম এবং ৩টি খাতা কিনতে চাও (px = ৫, py = ৩), তবে x + ২y এর মান কত হবে এবং এই পরিকল্পনা কি ২০০ টাকার বাজেটের মধ্যে থাকবে?
৫টি কলম ও ৩টি খাতা (px = ৫, py = ৩) কিনলে তা কি ২০০ টাকার বাজেটের মধ্যে থাকবে?
- বাজেটের বাইরে (২২০ টাকা) — x + ২y = ১১, যা ১০-এর চেয়ে বেশি (বিন্দুটি সমাধান অঞ্চলের বাইরে)
- বাজেটের ভেতরে — কলম সর্বোচ্চ ১০টির কম (৫টি) এবং খাতা সর্বোচ্চ ৫টির কম (৩টি)
- বাজেটের ভেতরে (১৬০ টাকা) — ৮টি জিনিস গড়ে ২০ টাকা করে ধরে হিসাব করায় বাজেটের মধ্যে ভাবা
যা বদলাতে পারবে
- কলমের সংখ্যা (x): ০ থেকে ১০
- খাতার সংখ্যা (y): ০ থেকে ৬
যা মেপে দেখাবে
- ব্যয়িত মান (x + ২y)
- পরিকল্পনাটি বাজেটের মধ্যে?
- সর্বোচ্চ কলম (খাতা = ০ হলে)
- সর্বোচ্চ খাতা (কলম = ০ হলে)
চালানোর সময় খেয়াল করো
- কলম ৫টি (px = ৫) এবং খাতা ৩টি (py = ৩) নাও। লাল বিন্দুটি কি ছককাগজের রঙিন সমাধান অঞ্চলের ভেতরে পড়েছে, নাকি বাইরে? x + ২y এর মান কি ১০-এর বেশি?
নিজে করে দেখো
- অন্তত ৩টি খাতা কিনে পুরো ২০০ টাকা খরচ করো — এক টাকাও বাকি থাকবে না।
ইঙ্গিত
পুরো টাকা খরচ মানে বিন্দুটি সীমারেখা x + 2y = ১০-এর উপর।
ধারণাটা কী?আগে নিজে চালিয়ে দেখো, তারপর খোলো।
দুই চলকবিশিষ্ট সরল অসমতার সমাধান অঞ্চল ও সীমারেখা
দুই চলকের সরল অসমতা ax + by ≤ c এর সমাধান কোনো একক সংখ্যা নয়, বরং ছককাগজের একটি সম্পূর্ণ অঞ্চল বা অর্ধতল (half-plane)। ax + by = c সমীকরণটি এই অঞ্চলের সীমারেখা (boundary line), যেখানে পুরো বাজেট খরচ হয় (১০ একক বা ২০০ টাকা)। সীমারেখার ওপর বা ভেতরে (মূলবিন্দুর দিকে) যেকোনো বিন্দু গ্রহণযোগ্য কেনাকাটা নির্দেশ করে। কিন্তু রেখার বাইরের যেকোনো বিন্দুতে (যেমন: ৫টি কলম ও ৩টি খাতা, যাতে x + ২y = ১১ এবং খরচ ২২০ টাকা) অসমতাটি সিদ্ধ হয় না, তাই তা বাজেট অঞ্চলের বাইরে।
অন্য উত্তরগুলো কেন ভুল
অনেকে মনে করে কলমের সংখ্যা সর্বোচ্চ ১০টির কম (৫টি) এবং খাতার সংখ্যা সর্বোচ্চ ৫টির কম (৩টি) হওয়ায় তা বাজেটে কুলিয়ে যাবে। কিন্তু দুটি দ্রব্যের খরচ একসাথে যোগ হয়: ১(৫) + ২(৩) = ৫ + ৬ = ১১ > ১০ (অর্থাৎ ২০×৫ + ৪০×৩ = ২২০ টাকা > ২০০ টাকা)। ছককাগজে সীমারেখাটি একটি তির্যক রেখা হওয়ায় (৫, ৩) বিন্দুটি আয়তক্ষেত্রের ভেতরে দেখা গেলেও রঙিন সমাধান অঞ্চলের বাইরে অবস্থান করে।
যেসব ভুল ধারণা হয়
- প্রতিটি চলকের মান নিজ নিজ অক্ষের সর্বোচ্চ সীমার নিচে থাকলে বিন্দুটি অসমতার সমাধান অঞ্চলের ভেতরে থাকে
- সব দ্রব্যের দাম একই ধরে মোট সংখ্যা দিয়ে বাজেট যাচাই করা যায়
বাস্তবে কোথায় দেখা যায়
- নির্দিষ্ট পারিবারিক মাসিক বাজেটের মধ্যে চাল ও তেলের মতো একাধিক নিত্যপ্রয়োজনীয় পণ্য কেনার সমন্বয় নির্ধারণ করা
- নির্দিষ্ট খরচের মধ্যে জমিতে ইউরিয়া ও টিএসপি সারের মতো ভিন্ন মূল্যের উপকরণ কেনার সর্বোচ্চ সীমা বের করা